: Метод решения приближенных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности широко применяют при определении усилий в различных процессах обработки давлением.
1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским
2. Поэтому уравнение пластичности принимают в форме, соответствующей указанным видам состояния: (2.24) или (2.22) для плоской деформации (2.28) или (2.29)-(2.31)
3.
4. для плоского напряженного состояния, (2.35)
5.
6. или (2.34) для осесимметричного.
При деформации тела сложной формы его условно разделяют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.
2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи (1.102) упрощаются принятием допущения, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря этому остается одно дифференциальное уравнение и в немвместо частных производных можно принять обыкновенные.
Это допущение исключает возможность определения напряжения в каждой точке деформируемого тела в отличие от мето дов совместного решения точных уравнений равновесия с уравнением пластичности, а также линий скольжения и характеристик.
Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на контакте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно и нет необходимости определять напряжения в каждой точке по объему деформируемого тела.
Рассмотрим применение этого метода на примере осадки полосы шириной 26, высотой 2h, неограниченной длины между плоскими шероховатыми плитами по Е. П. Унксову [18, 59, 64] (рис. 106). Начало координат расположим на середине ширины и высоты образца. Так как длина образца (размер перпендикулярный плоскости чертежа) неограниченно велика, деформация будет плоской. Вследствие симметрии полосы относительно оси z определим напряжения для правого сечения.
| Рис. 106. Схема к определению усилия осадки |
Выделим в теле бесконечно малый объем плоскостями, параллельными оси z на расстоянии х и х + dx от начала координат; длину этого объема примем
равной единице. На выделенный объем действуют нормальные напряжения 
, 
, 
и касательное напряжение 
Согласно второму допущению принимаем, что ■ 
и 
не зависят от координаты г, т. е. постоянны по высоте и зависят только от координаты х. Тогда второе дифференциальное уравнение равновесия (1.102) тождественно обращается в нуль.
Касательное напряжение 
, переменное по ширине и высоте, на контактной поверхности равно 
—касательному напряжению, обусловленному трением тела об инструмент. Величина
уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на средине высоты полосы равна нулю. Примем, что 
зависит от высоты полосы линейно, т. е.
Тогда
Подставив значение 
в первое уравнение равновесия
(1.102), получаем
(6.17)
Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия выделенного элемента (см. рис. 106). Сумма проекций всех сил, действующих на элементы, на ось х равна нулю, т. е.
Отсюда 
Для решения этого дифференциального уравнения относительно 
необходимо 
выразить или через 
, или через х, или принять независящим от х и 
. Рассмотрим эти случаи:
1. Так как касательное напряжение на контактной поверхности обусловлено трением металла об инструмент, естественно его определить на основании закона Кулона — Амонтона:
(6.18)
здесь 
и 
имеют одинаковый знак.
Уравнение пластичности для плоского деформированного состояния (2.24) для нашего случая представим в виде:
(6. 19)
Разность нормальных напряжений зависит от касательного напряжения.
Если касательное контактное напряжение не зависит от нормальных напряжений, то разность нормальных напряжений — величина постоянная. В частных случаях, когда 
и 
равны нулю (трение отсутствует), 
и 
являются главными напряжениями и выражение (6.19) превращается в уравнение (2.22):
Когда 
достигнет максимальной величины 
, уравнение (6.19) получит вид:
(6.20)
Дифференцируя уравнения (2.22) и (6.20), получаем уравнение пластичности в дифференциальной форме:
точное при указанных выше условиях постоянства или независимости 
от 
и 
Е. П. Унксов показал [18, 12, 53], что если 
зависит от нормального напряжения 
, как в нашем случае, при изменении тк от нуля до 0,7 k для приближенных расчетов можно пользоваться уравнением пластичности в форме (2.22), а при 
— в форме (6.19). Тогда выражение (6.20) является приближенным.
Подставив выражения (6.18) и (6.21) в уравнение (6.17), получаем
(6.22)
После разделения переменных и интегрирования находим
Отсюда
Постоянную интегрирования C1 определим из граничного условия ' (при х — b, 
):
Следовательно,
(6.23)
На рис. 107 представлены эпюры 
, построенные по формуле (6.23), и
(6.24)
По формуле (6.23) можно определить 
в любой точке контактной поверхности.
Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхности, можно определить полное давление на единицу длины полосы 2:
|
(6.25)
1 
везде принимаем положительным, а 
— в данном случае сжимающее, поэтому оно отрицательное.
2 Полное и удельное давление принимаем положительными
Разделив полное усилие Р на контактную площадь 2b, получаем удельное усилие (давление)
(6.26)
|
Из анализа уравнения (6.23) и эпюр напряжений (рис. 107) можно сделать вывод, что напряжения трения на оси полосы скачкообразно переходят от положительных значений к отрицательным и эпюра 
на оси образца имеет резко выраженный пик; как будет показано дальше, это не подтверждается экспериментально. Из эпюр также видно, что контактное напряжение трения (как и 
) растет от края полосы к оси по показательной кривой с увеличивающейся интенсивностью и величина касательного напряжения ничем не ограничена; ранее было установлено, что касательное напряжение не может быть
больше 
Из рассмотрения выражений (6.23), (6.25) и (6.26) видно, что величины нормального напряжения, полного и удельного усилия зависят от рода материала и его физического состояния (температуры, степени и скорости деформации, определяемых
величиной 
) и от параметра 
, отражающего влияние напряженного состояния, зависящего от соотношения размеров тела и коэффициента трения.
Из формулы (6.26) видно, что увеличение параметра 
уменьшает коэффициент перед скобками и увеличивает первое слагаемое в скобках. Так как в последнем случае этот параметр
входит как показатель степени, увеличение 
повышает удельное давление. Чем больше коэффициент трения и отношение ширины к толщине, тем больше удельное и полное давление. Качественно это подтверждается практикой. Однако при больших значениях коэффициента трения и большом отношении ширины к толщине полосы расчет по формулам (6.25) и (6.26) дает результаты, завышенные в несколько раз по сравнению с фактическими.
2. Принимаем допущение, что контактное касательное на
пряжение постоянно, согласно Зибелю, оно пропорционально 
т. е. 
(6.27)
|
Подставляя в уравнение (6.17) это значение 
и заменяя 
на 
,получаем
(6.28)
|
Отсюда
Постоянную интегрирования определяем при х = b и 
Следовательно,
(6.29)
На рис. 108 представлены эпюры контактного касательного напряжения 
по уравнению (6.27) и нормального напряжения по уравнению (6.29).
Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхности, находим полное давление на единицу длины полосы
(6.30) и удельное давление
(6.31)
Из рис. 108 и уравнения (6.29) видно, что в отличие от рис. 107 в данном случае при постоянстве контактного касательного напряжения нормальное напряжение от края полосы к середине изменяется линейно и растет менее интенсивно. Кроме того, имеется скачкообразное изменение 
и пик 
на оси полосы, хотя и менее резко выраженные, чем в предыдущем случае. Из выражений (6.29), (6.30) и (6.31) видно, что и в данномслучае усилие зависит от 
и параметра 
, но в отличие отпервого случая влияние этого параметра значительно слабее. При малых значениях коэффициента трения и малом отношении 
• (высокие и узкие полосы) формула (6.31) дает заниженныезначения удельного давления по сравнению с фактическими.
3. Допустим, что контактные касательные напряжения не имеют скачкообразного изменения при переходе через середину полосы и тк на контактной поверхности изменяется по линейному закону
(6.32)
где 
— значение контактного напряжения на краю полосы.
Из выражения (6.32) видно, что при х = 0 значения 
= 0, при х = b(на краю полосы) значение 
Подставив 
по выражению (6.32) в дифференциальное уравнение (6.17), получаем
(6.33)
| После интегрирования находим |
|
Постоянную интегрирования С определяем при х = b и 
= 
Отсюда
|
(6.34)
Полное давление на единицу длины полосы
(6.36)
Если принять 
то получаем
На рис. 109 представлена эпюра контактного касательного 
и нормального 
напряжений по ширине полосы при 
Из рис. 109 и уравнения (6.34) видно, что нормальное напряжение в этом случае изменяется по параболе и растет от края к середине ширины с меньшей интенсивностью, чем в первых двух рассмотренных случаях; пик на оси г отсутствует.
Из формулы (6.37) видно, что и в этом случае удельное давление зависит от 
и параметра 
; одна-
ко влияние последнего слабее, чем в первых двух случаях.
Имеются экспериментальные данные по определению фактической формы эпюр нормальных и касательных напряжений на поверхности контакта деформируемого металла с инструментом в различных процессах обработки давлением (ковка, прокатка, прессование).
Применительно к рассматриваемому процессу осадки Е. П. Унксов [18, 59] определял эпюры напряжений различными методами и установил, что в широком диапазоне изменения коэффициентов трения и отношения ширины полосы к толщине форма эпюр 
имеет куполообразный вид без резко выраженного пика на оси полосы. Касательное напряжение на оси г плавно переходит через нуль.
В общем случае эпюры нормальных и касательных напряжений состоят из трех участков (рис. 110). В I участке 
и 
растут от точек А и а с повышающейся интенсивностью по кривой, близкой к показательной, до точек В и b. Во II участке 
сохраняет постоянную величину, а 
растет по прямой до точек С и с. В III участке 
изменяется по наклонной прямой, проходя через нуль, а 
изменяется по. параболе, имея максимум на оси полосы.
На основании этого можно сделать вывод, что в периферийном участке I металл скользит по инструменту, контактное касательное напряжение является напряжением трения скольжения и подчиняется закону Кулона — Амонтона (напряжение трения равно произведению коэффициента трения на нормальное давление). Это отвечает первому допущению из рассмотренных
Рис. ПО. Экспериментальные эпюры контактных напряжений при плоской осадке свинцовых образцов (Е. П. Унксов)
выше при решении упрощенного дифференциального уравнения равновесия (6.17).
Изменение нормального напряжения 
описывается уравнением (6.23), а изменение касательного контактного напряжения—-уравнением (6.24).
Однако увеличение абсолютной величины 
с уменьшением х,
как указано выше, может происходить до значения 
Приравнивая это выражение и выражение (6.18), получаем рост касательного напряжения 
прекращается и оно
Отсюда
(6.38)
После того как 
достигнет значения 
, а 
значения
принимает постоянное значение тк = участок I скольжения переходит в участок II торможения, в котором равновероят
но скольжение металла по инструменту и сдвиги внутри металлапо плоскостям, параллельным контактной плоскости.
Абсциссу границы участков торможения и скольжения 
можно определить, приравнивая правые части выражений (6.23) и (6.38): 
|
Отсюда
| (6.39) (6.40) |
|
Так как коэффициент трения 
Обозначая
получаем
Значения 
зависят от коэффициента трения f:
f 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
46 16,1 8,04 4,6 2,78 1,70 1,02 0,56 0,24 0
Протяженность зоны скольжения от точки хb до края полосы выражается равенством
(6.41)
Нормальное напряжение 
в зоне скольжения изменяется от 
на краю полосы до
Так как в зоне торможения контактное касательное напряжение постоянно 
, дифференциальное уравнение равновесия (6.17) имеет вид:
и
Постоянную интегрирования С определяем при 
, т. е.
на границе зон скольжения и торможения согласно выражению
|
(6.38) 
|
Отсюда
(6.42)
Как указано выше, экспериментами установлено снижение контактных касательных напряжений вблизи вертикальной оси симметрии, где скольжение металла по инструменту отсутствует.
Участок III является зоной прилипания. Экспериментально установлено, что на границу этой зоны можно приближенно принять абсциссу, равную толщине образца, т. е.
(6.43)
Следовательно, зона торможения распространяется от 
=
до 
|
Нормальное напряжение во II участке изменяется от на границе с участком скольжения до
на границе с участком прилипания.
В зоне прилипания (III участок) принимаем линейную зависимость 
от абсциссы согласно выражению (6.32), причем контактное касательное напряжение на границе с участком торможения при 
равно. Тогда
(6.44)
Подставив выражение (6.44) в дифференциальное уравнение равновесия (6.17), получаем:
После интегрирования
Постоянную интегрирования С определяем при 
(на границе участков торможения и прилипания) согласно выражению (6.42):
|
и
Поэтому
|
(6.45)
На рис. 111 представлены эпюры контактных и нормальных напряжений для трех участков (скольжение, торможение и прилипание), построенные по приведенным выше формулам.
Теоретический анализ объясняет форму экспериментальных эпюр контактных касательных и нормальных напряжений при осадке полосы. Эпюры состоят в общем случае из трех участков с различной закономерностью изменения касательных и нормальных напряжений. В I участке (участок скольжения) касательные напряжения равны произведению коэффициента трения на нормальное давление; в этом участке касательные и нормальные напряжения растут по показательной кривой. Во втором участке (участок торможения) касательные напряжения трения
постоянны, максимальны и равны 
; нормальные напряжения растут по прямой. В III участке (участок прилипания) касакасательные напряжения уменьшаются линейно до нуля на вертикальной оси полосы; нормальные напряжения изменяются по параболе.
