Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности 3 страница

 

При переходе из точки а в точку т на контактной поверх­ности линии скольжения поворачиваются на угол

По этому

Отсюда

 

На контактной поверхности и во всей области BDE действуют сжимающие напряжения и , причем большее по абсо­лютной величине является минимальным. По уравнению пла­стичности

Из предыдущего уравнения находим

(6.11)

При плоской деформации, согласно уравнению (2.25),

тогда вертикальное напряжение

Удельное усилие, как и полное усилие, всегда принимают положительными. Поэтому удельное усилие

(6.12)

Полное усилие на единицу длины пуансона

При осадке, когда ширина пуансона равна или больше ши­рины тела и нет внешних зон, нормальное напряжение при от­сутствии трения на контактной поверхности было бы равно 1,15 а_т. Следовательно, наличие внешних зон повышает усилие

 

в —— ~ 2,57 1,15 раза.

Рис. 105. Схема к определению внут­реннего давления в пластически де­формируемой трубе

Рассмотрим еще один при­мер применения линий сколь­жения для определения уси­лий [12]. Определим внутрен­нее давление в трубе (рис. 105), при котором все сечение трубы будет находиться в пластиче­ском состоянии. Деформацию считаем плоской. Так как каса­тельные напряжения отсутст­вуют, Or будет главным напря­жением и траекториями его бу­дут радиусы; тангенциальное напряжение будет также главным и траекториями его будут концентрические окружности.

Линии скольжения пересекают обе траектории нормальных

напряжений под углом • . Как известно, линия, пересекающая

радиус-вектор под постоянным углом, является логарифмиче­ской спиралью; уравнение ее в полярных координатах имеет вид:

где а — начальный радиус;

т — котангенс угла между радиусом-вектором и касатель­ной к кривой; — переменный угол.

Так как

(6.13)

 

Откладывая угол и радиус от оси по часовой стрелке, по­лучаем одно семейство линий скольжения, а против часовой стрелки — другое (рис. 105, слева).

На наружной поверхности трубы радиальное напряжение

; тангенциальное напряжение ■— растягивающее. По условию пластичности

Отсюда

Среднее напряжение

Линия скольжения при переходе от точки п на наружной по­верхности трубы в точку т на внутренней поверхности повернет­ся на угол . Согласно выражению (6.13),

Среднее напряжение на внутренней поверхности трубы

Радиальное напряжение сжатия увеличивается по абсолют­ной величине от нуля в точке и до в точке т.

Тангенциальное напряжение растяжения уменьшается в направлении от точки п к точке т, т. е.

Поэтому в предыдущем выражении перед нужно поставить знак минус:

 

 

По условию пластичности

и

Вычитая это уравнение почленно из предыдущего, получаем

И

Это выражение получено выше методом совместного реше­ния уравнений равновесия и пластичности.

Метод характеристик

Приведенные выше уравнения Леви (6.5) содержат два не­известных — среднее напряжение и угол . Решение этих уравнений принципиально возможно. Однако такое решение за­труднительно из-за входящих в эти уравнения частных произ­водных.

Выше эти уравнения были решены с использованием свойстз линий скольжения; решение требовало знания сетки линий скольжения. В общем случае уравнения (6.5) решают методом отыскания характеристик.

Исключим из уравнений (6.5) , для чего продифференци­руем первое уравнение по z, а второе по х и вычтем из первого уравнения второе:

 

 

Отсюда после несложных преобразований получаем

Это квазилинейное дифференциальное уравнение в частных про­изводных второго порядка. В общем виде уравнение (6.14) за­писывают так:

(6.15)

называют уравнением характеристик уравнения (6.14а), а его решение — характеристиками.

При значениях коэффициентов, имеющихся в выражении (6.14), уравнение характеристик может быть представлено в виде

или

 

 

Решая это уравнение относительно- , получаем

 

(6.15)

 

 

Отсюда находим два дифференциальных уравнения характери­стик основного уравнения (6.14)

 

Сравнивая дифференциальные уравнения характеристик (6.16) с уравнениями (6.2), видим, что характеристики совпадают с линиями скольжения.

Характеристики обладают всеми свойствами линий скольжения.

Методом характеристик решен ряд задач при отсутствии тре­ния на контактных поверхностях. При наличии трения решение выполняют методами численного интегрирования.

МЕТОД РАБОТ

Метод работ основан на положении, что при пластической деформации работа внешних сил равна сумме работ внутренних сопротивлений. При деформации нужно затратить работу на преодоление внутренних сопротивлений, определяемых прочностными свойствами тела и на преодоление сил внешнего трения. Работа внешних сил равна разности работ активных сил, развиваемых прессом или прокатным станом, и сил внешнего трения, т. е.

(6.17)

или

где —работа внешних сил;

— работа активных сил;

— работа сил трения;

— работа внутренних сопротивлений - работа деформации.

Приращение работы внутренних сил определяют при малой деформации с учетом упругой составляющей деформации т.е. принимают, что при пластической деформации начальные напряжения отличны от нуля и при незначительном изменении формы тела их можно принять постоянными. Приращение работы при пластической деформации можно определяются следующим выражением:

(6.18)

Подставляя в уравнение значения связи напряжений и деформаций

получаем:

(6.19)

Как известно, модуль пластичности второго рода G', можно выразить через модуль пластичности первого рода Е' и через интенсивность напряжений и деформаций:

 

Подставив в выражение (6.19) вместо значение G', получаем

(6.20)

Работу внешних (поверхностных) сил, включая работу контактных сил трения, можно выразить так:

(6.21)

где X, Y, Z — проекции сил на оси координат;

— соответствующие координатам перемещения. Работу сил контактного трения в общем случае можно пред­ставить так:

(6.22)

где — напряжение трения (вынесено за интеграл, так как принято постоянным и изотропным).

Подставив выражения (6.20) и (6.21) в уравнение (6.22) получаем:

(6.23)

Принимают следующее допущение: работа активных сил равна произведению полного усилия на перемещение инструмента (обжатие):

Тогда полное усилие

. (6.24)

Пример: определение методом работ усилия осадки полосы шириной , высотой и длиной l, значительно превышающей ширину, так что деформацию можно рассматривать плоской. В этом случае принимают следующие допущения: напряжение трения на контактной поверхности постоянно, не зависящее от х.; деформация равномерная, хотя трение на контактной поверхности в действительности приводит к неравномерности деформации, следовательно, напряжения и в этом случае являются главными; интенсивность напряжений , равна

Относительная деформация по оси z при малой осадке равна относительному обжатию, взятому со знаком «минус», т. е.

Тогда интенсивность деформации будет равна:

Абсолютная работа внутренних сил в пределах одной четверти сечения полосы определяется уравнением

Работу сил трения равна:

Перемещение определяется так:

Постоянную интегрирования определяется при х = 0 и и = 0: С = 0.

Подставив значение и в предыдущее уравнение, получаем

откуда полное усилие будет равно:

Разделив это уравнение на контактную площадь , получаем формулу для определения удельного давления

Принимая, согласно выражению (6.27),

Во многих случаях полное и удельное усилия можно опреде­лить методом работ проще. Для приведенного выше примера осадки полосы в условиях плоской деформации это можно осу­ществить следующим образом.

Работа внутренних сопротивлений, работа деформации без учета сил трения равна произведению сопротивления деформа­ции на контактную площадь и абсолютное обжатие, т. е.

Работа сил трения равна произведению силы трения на пе­ремещение металла вдоль контактной поверхности с инстру­ментом.

Силу трения Т определяем при условии, что напряжение

трения постоянно и равно , т. е.

Перемещение металла вдоль инструмента

Однако при плоской деформации

Следовательно,

Перемещение и линейно зависит от х, изменяясь от нуля на середине ширины полосы до максимального значения на краю полосы при х = b:

 

Среднее значение перемещения

Работа сил трения по обеим контактным поверхностям

т. е. получена формула (6.31).

И. Я. Тарновский показал, что для определения усилий методом работ можно получить те же формулы, что и методом решения приближенных уравнений равновесия и пластичности для осадки с полным скольжением по контактной поверхности и прокатки.

М. В. Сторожев [12] и И. Л. Перлин применили метод работ для определения усилий при прессовании, а В. Н. Выдрин — при прокатке.

6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Вариационные методы определения усилий и деформации, как и метод работ, основаны на энергетическом принципе. Ва­риационный метод, применяемый в теории упругости и матема­тической теории пластичности, в последнее время получил раз­витие в трудах И. Я- Тарновского и его учеников [15, 39, 57, 58] применительно к процессам обработки металлов давлением.

Вариационные методы в отличие от метода решения при­ближенных уравнений равновесия и пластичности и метода работ позволяют определить не только полное и удельное уси­лия, но и распределение напряжений и деформаций по объему тела, а также форму тела после деформации с учетом нерав­номерности деформации.

Вариационные методы ' основаны на положении: «сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемеще­ниях около состояния равновесия равна нулю».

Работа внешних сил, согласно выражению (6.64),

Работа внутренних сил, согласно уравнению (6.63),

И. Я- Тарновский принимает вместо интенсивности нормаль­ных напряжений интенсивность касательных напряжений , обозначая ее буквой Т в форме, отличающейся от выражения (1.32а) постоянным коэффициентом:

(6.70)

Вместо интенсивности деформаций принята интенсивность деформаций сдвига , обозначенная буквой Г в форме, отличающейся от выражения (1.696) постоянным коэффициентом перед корнем:

(6.71)

 

 

Произведения уравнений (1.32а) на (1.69б) и (6.72) на (6.73) равны между собой, т. е.

Поэтому уравнение работы внутренних сил (6.63) можно представить так:

(6.72)

Интенсивность касательных напряжений Г на основании уравнения пластичности (2.8) можно выразить через так:

или, учитывая уравнение (2.25), Так как величина Т постоянная, ее можно вынести за знак инте­грала. Тогда

(6.73)

Рассмотрим начало возможных перемещений тела.

Пусть тело находится в равновесии под действием заданных сил и перемещений. Сообщим точкам тела бесконечно малые смещения :, , , совместимые с граничными условиями (кинематически возможные смещения).

Приращения , , представляют собой вариации пере­мещений и должны обращаться в нуль' на тех участках по­верхности тела, где перемещения заданы и не допускают никаких изменений (вариаций). Например, при осадке верти­кальное перемещение на контактной поверхности задано дви­жением инструмента, поэтому на поверхности = 0. При пол­ном прилипании все перемещения (, , ) равны нулю.

Вариации работы внешних сил на возможных перемещениях, согласно уравнению (6.64), определяются уравнением

 

Вариации работы внутренних сил на возможных перемещени­ях, согласно уравнению (6.73), определяются уравнением:

(6.75)

Согласно началу возможных перемещений, учитывая, что работа внутренних сил положительна, а внешних отрицательна, имеем:

(6.76)

Величина, стоящая в квадратных скобках, представляет со­бой полную энергию. Следовательно, вариация полной энергии равна нулю. Это положение можно сформулировать так: «дей­ствительная форма равновесия тела отличается от всех возмож­ных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное значение».

Полная энергия в выражении (6.76) является функцией перемещений. Действительно, работа внешних сил непосред­ственно зависит от перемещений согласно уравнению (6.70). Работа внутренних сил зависит от интенсивности деформаций сдвига Г; однако последняя зависит от деформаций, которые определяются частными производными от перемещений по коор­динатам [см. уравнения (1.56)].

Таким образом, задача может быть поставлена так: найти такую функциональную зависимость перемещений от координат, при которой полная энергия принимает минимальное значение. Такие задачи рассматривают в вариационном исчислении. Эти задачи можно сравнить с задачами на отыскание экстремаль­ных значений функции в дифференциальном исчислении. В по­следнем определяют значение переменной величины, при кото­рой функция получает экстремальное (в частности, минималь­ное) значение. В вариационном исчислении определяют функ­цию, которая сообщает минимальное значение другой функции, зависящей от нее и называемой функционалом.

Решение практических задач обработки металлов давлением методами вариационного исчисления представляет непреодоли­мые математические трудности. Применением приближенных так называемых «прямых» методов вариационного исчисления удается решить большое число задач.

Один из прямых методов (метод Ритца) заключается в том, что искомую функцию (применительно к обработке давлением

этой функцией являются перемещения) представляют в виде ряда, например

(6.77)

где — неопределенные параметры;

— функции координат, отвечающие граничным условиям.

Функции <fi можно принимать произвольно, лишь бы они от­вечали граничным условиям. Однако для повышения точности и сокращения расчета целесообразно принимать «подходящие» функции, т. е. такие, которые по форме отвечают эксперимен­тальным данным и отображают особенности процесса. Если подходящие функции правильно выбраны, то при 1—2 членах ряда уравнения (6.77) получается удовлетворительная сходимость при определении усилий.

После подстановки значений и, v, w и их производных в вы­ражение (6.76) выразим полную энергию в функции произволь­ных параметров а_ь а₂ и т. д. Поэтому вариационная задача отыскания вида функции, сводится к определению значений этих параметров, сообщающих полной энергии минимальное значение. Задача решается дифференцированием полной энер­гии по параметрам и приравниванием производных нулю:

В результате интегрирования и дифференцирования получа­ем систему алгебраических уравнений по числу параметров.

Определив значения параметров a1 a₂, ••-, найдем по урав­нению (6.77) значения перемещений, а по уравнению (1.56) — деформации. Учитывая граничные условия и свойства тела, можно определить усилие.

Рассмотрим применение вариационных методов к решению задачи осадки полосы шириной 2b, толщиной 2h и длиной / между шероховатыми плитами в условиях плоской деформации. Эта задача решена выше методами совместного решения при­ближенных уравнений равновесия и пластичности и методом работ. Вследствие симметрии рассмотрим четверть сечения полосы, поместив начало координат на середине высоты полосы.

Работа внешних сил равна работе активных сил и сил тре­ния на контактной поверхности, являющихся силами сопротив­ления.

Работа активных сил равна произведению полного усилия на вертикальное перемещение w при z = h, или, что то же са­мое, на абсолютное обжатие:

Работа сил трения на элементе поверхности контакта dF равна произведению перемещения вдоль контактной поверхно­сти на напряжение трения. Учитывая, что сила трения противо­направлена перемещению, можно работу сил трения выразить так:

 

 

При плоской деформации перемещение вдоль оси у равно нулю, поэтому напряжение трения

в долях k: Тогда

Работа внешних сил, принимая с плюсом,