Теорема Шеннона для канала с помехами.

Пусть - производительность источника, тогда, если производительность источника меньше пропускной способности канала (), то можно передовать сообщения со сколь угодно высокой достоверностью.

Шеннон впервые указал на то, что можно сделать. Ему принадлежит идея помехоустойчивого кода. Ранее, до Шеннона, повышение помехоустойчивости достигалось многократной передачи одной и той же информации и вынесением решения по большинству голосов. Это было крайне не рационально для канала, так как для передачи требовалось большее время. Теорема Шеннона, хотя и не конструктивна, утверждает что достоверность можно повысить другим методом – путем построения помехоустойчивого кода. В дальнейшем это положение было подробно разработано с применением математического аппарата комбинаторики и в теории связи появилось научное направление "помехоустойчивое кодирование". В данном разделе мы не будем его подробно рассматривать, а ограничимся изучение помехоустойчивого кода с проверкой на четность. Формирование этого кода идет по схеме показанной на рис.2.

 

 

 

Кодер канала формирует помехоустойчивый код по первичному коду сообщения. Рассмотрим как это делается. Допустим первичный код представлен r разрядами (в данном на рис.3 примере 6 разрядов).

 

 

Рис.3

В комбинацию кода вводится еще один разряд k, который называется контрольным. Его значение определяется по очень простому правилу: количество единиц во всем кодовом слове должно быть четным. Например, r разрядов 011101, контрольный разряд k равен 0; r – 001110, k – 1. Это правило формирования кода известно в приемнике и его задача проверить выполнение условия. Если количество единиц четное, ошибок нет и информация поступает получателю. Если же нет, приемник вырабатывает сигнал ошибки, по которому запрашивается повторная передача. Такое правило позволяет обнаружить однократные ошибки. Существуют более сложные помехоустойчивые коды не только обнаруживающие, но и исправляющие ошибки.

2.1 Ортогональные ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее. Это определение накладывает свой отпечаток прежде всего на свойство базисных функций. Ряд ортогонален, если

. (3)

Введем новые базисные функции нормированные следующим образом:

Свойство нормированных ортогональных базисных функций следующее:

(4)

Заданный сигнал теперь запишется так:

, (5)

а сам ряд получил название ортонормированного ряда.

Далее разберем как находить коэффициенты b_k. Для этого в (5) умножим левую и правую часть на j_k b проинтегрируем произведения за период:

. (6)

Воспользовавшись свойством ортогональности в правой части, получим

. (7)

Интеграл в (7) легко может быть вычислен любым способом.

Представление сигнала в виде ортогонального ряда позволяет получить полные сведения о сигнале в более сжатой форме, т.е. ту же информацию, но при меньшем количестве параметров. В теории сигналов в основном применяются ортогональные ряды Фурье, Уолша и Котельникова.

 

Средняя мощность периодического сигнала

Важность этой характеристики заключается в том, что она отражает не только величину сигнала, но и его длительность. Это необходимо учитывать при приеме сигнала, при его различении. Известно, что средняя за период мощность равна

. (18)

Выразим S(t) через ряд Фурье:

(19)

 

Первый интеграл в (19) выражает мощность постоянной составляющей сигнала:

. (20)

Второй интеграл, берется от знакопеременной функции, имеющей целое число периодов на интервале интегрирования T. При любом n он будет равен нулю.

Прежде чем решать третий интеграл проведем анализ подынтегральной функции. Обратимся к простому примеру. Допустим вместо бесконечной суммы имеем квадрат трехчлена:

(21)

В этом простом выражении есть сумма квадратов членов и сумма произведений различных членов с дополнительным коэффициентом. Таким образом подынтегральное выражение может быть записано в виде двух сумм и третий интеграл в (19) будет:

. (22)

Интеграл от двойной суммы будет равен нулю по свойству ортогональности, а первый представляет собой хорошо известное выражение средней мощности гармонического сигнала, в качестве которого выступает n-ая гармоника:

. (23)

Таким образом, (22) является суммой средних мощностей гармоник,

, (24)

и искомая средняя мощность периодического сигнала будет равна

(25)

Это выражение получило название «равенство Парсеваля».

Интересно заметить, что мощность не зависит от фаз гармонических составляющих сигнала и результирующая мощность складывается из мощностей отдельных гармоник.

Практическая ширина спектра

Реальные устройства систем связи и управления содержат инерционные элементы (индуктивности, емкости). Поэтому невозможно передавать по такой системе гармонические составляющие сколь-угодно больших и малых частот.

Очевидно, что передавать следует гармонические составляющие с относительно большими амплитудами, содержащими большую долю энергии.

Поэтому вводится понятие практической ширины спектра сигнала.

К нему можно подходить с 2-х точек зрения:

1. Сохранить основную энергию сигнала, т.е. учитывать ширину спектра, в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

Рис. 10.3

2. Сохранить не только энергию, но и форму сигнала. Это требование резко расширяет требуемую полосу частот.

Пример