Лабораторная работа №1 Нахождение корней уравнения в MathCad

Цель работы: нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенных функций root, polyroots, символьного решения.

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции root

1. Запустить программу MathCad.

2. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

3. Создать цикл из точек интервала, на котором определяются корни, и вычислить в этих точках функцию f(х). Построить график функции f(х) и график функции х0=0 (т.е. ось х).

4. Определить точки пересечения двух кривых f(х) и х0, которые будут приближением к корням уравнения.

4.1. Использовать для определения на графике значений корней в контекстном меню (рис.17, a) опцию Trace (рис. 17,б), установить флажок в окне Track Data Poіnt.

4.2. Подвести курсор мыши к точкам пересечения кривых, координаты точек пересечения кривых, т.е. корни, будут представлены в окнах Х-Value и У- Value, а на графике отобразится вертикальная прямая.

5. Задать для независимой переменной х начальное приближение, которое выбирается как значение точки пересечения кривых f(х) и х0. Обратиться ко встроенной в MathCad функции root(f(x), x) (функция root возвращает значение независимой переменной х, для которой f(х) равняется 0) и найти корень х1.

6. Найти второй (х2) и третий (х3) корни уравнения f(х)=0 (уравнение третьей степени имеет не больше трех действительных корней), задав для них соответственно их начальные значения как координаты точек пересечения кривых f(х) и х0 и использовав функцию root.

 

 

а) б)

Рисунок 17 – Диалоговые окна для определения координат точек пересечения кривых

 

ІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции polyroots, которая возвращает вектор, имеющий все корни уравнения, коэффициенты уравнения при этом задаются вектором.

1. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

2. Записать как вектор v все коэффициенты уравнения, расположить их в порядке увеличения степеней.

3. Найти корни, обратившись ко встроенной функции r:=polyroots(v), результат будет получено относительно трансформированного вектора r^T.

4. Для интервала нахождения корня и количества элементов вектора r^T создать соответствующие циклы и вычислить значение функции в точках цикла.

5. Построить график функции в точках цикла, а также в найденных точках корней, в которых функция будет иметь значения, равные нулю.

 

ІІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием символьных решений уравнений.

1. Ввести левую часть уравнения.

2. Ввести знак равенства с использованием панели управления Evaluatіon (Выражения) или с помощью нажатия клавиш Ctrl + =.

3. За знаком равенства ввести правую часть уравнения.

4. Выделить переменную, относительно которой решается уравнение.

5. Выбрать команду Symbolіc/Varіable/Solve.

По окончанию решения корни уравнения выводятся в виде вектора.

 

ІV Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1,...).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения.

4. Обратиться к функции mіnerr(x). Корень будет найдено.

 

Таблица 1.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 1

 

№ варианта	Интервал нахождения корней	Уравнение
	[-1; 3]	x3-2,92x2+1,4355x+0,791=0
	[-2; 3]	x3-2,56x2-1,325x+4,395=0
	[-3,5; 2,5]	x3+2,84x2-5,606x-14,766=0
	[-2,5; 2,5]	x3+1,41x2-5,472x-7,38=0

Продолжение табл.1.1

	[-1,6; 1,1]	x3+0,85x2-0,432x+0,044=0
	[-1,6; 1,6]	x3-0,12x2-1,478x+0,192=0
	[-1,6; 0,8]	x3+0,77x2-0,251x-0,017=0
	[-1,4; 1]	x3+0,88x2-0,3999x-0,0376=0
	[-1,4; 2,5]	x3+0,78x2-0,827x-0,1467=0
	[-2,6; 1,4]	x3+2,28x2-1,9347x-3,90757=0
	[-2,6; 3,2]	x3-0,805x2-7x+2,77=0
	[-3; 3]	x3-0,345x2-5,569x+3,15=0
	[-2; 3,4]	x3-3,335x2-1,679x+8,05=0
	[-1; 2,8]	x3-2,5x2+0,0099x+0,517=0
	[-1,2; 3]	x3-3x2+0,569x+1,599=0
	[-2,5; 2,5]	x3-2,2x2+0,82x+0,23=0
	[-1,2; 4,6]	x3-5x2+0,903x+6,77=0
	[-1; 7,4]	x3-7,5x2+0,499x+4,12=0
	[-1.6; 9]	x3-7,8x2+0,899x+8,1=0
	[-3,4; 2]	x3+2x2-4,9x-3,22=0
	[-3,4; 1,2]	x3+3x2-0,939x-1,801=0
	[-4,6; 3,0]	x3+5,3x2+0,6799x-13,17=0
	[-2,4; 8,2]	x3-6,2x2-12,999x+11,1=0
	[-3,2; 2,7]	x3-0,34x2-4,339x-0,09=0
	[-1; 3]	x3-1,5x2+0,129x+0,07=0
	[-1; 3]	x3-5,5x2+2,79x+0,11=0
	[-1; 3]	x3-5,7x2-6,219x-2,03=0
	[-1; 3]	x3-3,78x2-7,459x-4,13=0
	[-1; 3]	x3-5x2-9,9119x+0,01=0
	[-1; 3]	x3-7x2-1,339x-7,55=0

Пример

І Для уравнения найти корни на интервале [-1, 1], шаг изменения переменной х равен 0.1.

1 Записать цикл из точек интервала х:=-1, -0.9..1.

2 Записать функции и х0 =0.

3 Построить графики для этих функций.

4 Определить на графике точки пересечения кривых и х0 =0.

5 Задать как приближение значения точек пересечения х1, х2, х3. В примере х1=-0.9, х2=0.2, х3= 0.7.

6 Вычислить значение корней с помощью формул: root (f(x1),x1), root (f(x2),x2), root (f(x3),x3). Полученные значения корней такие: х1=-0.92, х2=0.21, х3= 0.721 (рис. 18).

Рисунок 18 – Результат нахождения корней с использованием функции root

II Для уравнения найти корни на интервале [-1.1, 7.1], шаг изменения переменной х равен 0.1.

1. Создать вектор из коэффициентов уравнения, используя панель управления Matrix (Матрица) (рис.19) и задав один столбец и четыре строки для коэффициентов уравнения.

 

Рисунок 19 – Диалоговое окно для определения вектора из коэффициентов уравнения

 

Вектор из коэффициентов уравнения будет иметь следующий вид

2. С помощью встроенной функции r:= polyroots (v) найти корни уравнения и представить их в виде вектора r^T, транспонированного по отношению к r, то есть преобразованного из столбца в строку.

3. Создать циклы для переменной х и количества найденных корней:

4. Построить графики для функции и определить функцию в точках корней. В точках корней значения функции равны нулю.

5. Определить значения корней на графике (рис. 20).

Рисунок 20 – Результат нахождения корней с использованием функции polyroots

 

III Для уравнения найти корни с использованием символьных решений уравнений.

1. Записать левую часть уравнения

.

2. Поставить логический знак «=» и в правой части записать 0.

3. Выделить переменную х.

4. Обратиться в главном меню MathCad к команде Symbolic/Variable/ Solve.

Найдены корни уравнения запишутся в виде вектора:

IV Найти приближенное решение вышеприведенного уравнения с использованием функции minerr (x 1,…).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения.

4. Обратиться к функции minerr (x). Корень будет найдено.

5. Аналогические действия выполнить для двух других корней уравнения, поскольку уравнения третьей степени имеет не больше трех корней.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют находить корни уравнения?

2 Как выполняется символьное нахождение корней уравнений?