Вывод основного уравнения упругого режима

 

Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившимся плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат

. (5.12)

Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t=t^/. Для этого случая решение уравнения (5.12) имеет вид

, (5.13)

где А и С - некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t=t^/ давление в пласте было р=р_к=const. Тогда при r>0 и при t=t^/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥/¥ и определяется по правилу Лапиталя, что даёт С=р_к Таким образом,

, (5.14)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (5.4) Dt_з=b^*t₀Dр для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Dр=p₀-p по (5.14)

dt_з=b^*Dрdt₀ = . (5.15)

 

После интегрирования (5.15) в пределах от 0 до ¥ получим объём жидкости t₂, выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А

. (5.16)

 

Таким образом, в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением

, (5.17)

 

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q=Q₀ в течение времени dt^/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dt₂=Qdt^/ и, следовательно, из (5.17) следует

, (5.18)

 

Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции

и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде

, (5.19)

 

Формула (5.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.5.1) и обладает следующими свойствами:

1. - Ei(-u) изменяется от 0 до ¥ при изменении аргумента от 0 до ¥;

2. функция - Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда

(5.20)

 

Для малых значений u <1 можно принять

(5.21)

Так погрешность применения (5.21) не превышает 0,25% при u <0,01; 5,7% - при u <0,1

. (5.22)

 

С учетом соотношения (5.21) основное уравнение (5.19) перепишется в виде

, (5.23)

 

Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье с погрешностью не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (5.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (5.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если r_к >1000r_c и fo <3,5^.10⁵ или Fo <0,35.

 

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса r_c c постоянным дебитом Q₀ (рис.5.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (5.23): дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления

.

 

Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r²<<0,03^.4kt, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.5.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.