Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).
Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившимся плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат
. (5.12)
Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t=t/. Для этого случая решение уравнения (5.12) имеет вид
, (5.13)
где А и С - некоторые постоянные.
Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t=t/ давление в пласте было р=рк=const. Тогда при r>0 и при t=t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥/¥ и определяется по правилу Лапиталя, что даёт С=рк Таким образом,
, (5.14)
Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (5.4) Dtз=b*t0Dр для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Dр=p0-p по (5.14)
dtз=b*Dрdt0 = 
. (5.15)
После интегрирования (5.15) в пределах от 0 до ¥ получим объём жидкости t2, выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А
. (5.16)
Таким образом, в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением
, (5.17)
Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q=Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dt2=Qdt/ и, следовательно, из (5.17) следует
, (5.18)
Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции
и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде
, (5.19)
Формула (5.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.
Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.5.1) и обладает следующими свойствами:
1. - Ei(-u) изменяется от 0 до ¥ при изменении аргумента от 0 до ¥;
2. функция - Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда
(5.20)
Для малых значений u <1 можно принять
(5.21)
Так погрешность применения (5.21) не превышает 0,25% при u <0,01; 5,7% - при u <0,1
. (5.22)
С учетом соотношения (5.21) основное уравнение (5.19) перепишется в виде
, (5.23)
Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье 
с погрешностью не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (5.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (5.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если rк >1000rc и fo <3,5.105 или Fo <0,35.
Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rc c постоянным дебитом Q0 (рис.5.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (5.23): дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления
.
|
Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r2<<0,03.4kt, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.5.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.
