Исходные уравнения многофазной фильтрации

Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.

Уравнения неразрывности.

первой фазы ; (6.7)

второй фазы ; (6.8)

Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.

Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то вместо уравнений (6.7) и (6.8) имеем

, . (6.9)

Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации будем предполагать, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическом равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости k_i(s) и капиллярное давление р_к (s), зависящее только от насыщенности.

Будем рассматривать только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (6.4):

, (6.10)

а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (6.5) и (6.6):

, (6.11)

Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать связи параметров, характеризующих свойства фаз и пористой среды, с давлением.

Уравнения состояния флюидов. При изотермических условиях фильтрации плотность и вязкость каждой из фаз определяются давлением в данной фазе:

r_i=r_i(p_i), m_i=m_i(p_i), (i=1,2). (6.12)

Пласт будем считать недеформируемым.

Таким образом, получена замкнутая система уравнений (6.7), (6.8), (6.10), (6.11) и (6.12) для определения всех неизвестных параметров: насыщенности s, давления p_i, скорости фильтрации u_i,. плотности r_i и вязкости m_i фаз.

Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена.

Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей.