Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок

Рассмотрим собственные колебания прямоугольной в плане упругой пластинки со сторонами а и b и постоянной толщиной h (Рисунок 2.1).

 

Рисунок 2.1 – Схема колебаний прямоугольной

пластины с жестким защемлением.

 

Условия на контуре пластины будем пока считать произвольными. Уравнение колебаний пластинки имеет вид [4,9,10]

 

(2.1)

 

где ω(х, у, t) — нормальный прогиб, D — цилиндрическая жесткость ρ — плотность материала пластинки.

Подстановкой

 

ω(x,y,t)=W(x,y)e^iωh

где ω — частота собственных колебаний, уравнение (2.1) приводится к виду:

 

(2.2)

 

Рассмотрим выражение

 

(2.3)

 

где f, х₀, у₀, λ_x, λ_y — некоторые константы. Это выражение удовлетворяет уравнению (2.2) и соответствует частоте

 

(2.4)

 

но не удовлетворяет граничным условиям. Для подчинения этим условиям мы располагаем лишь чётырьмя константами: f, х₀, у₀, λ_x, λ_y, так как f определяется из начальных условий. Как мы увидим ниже, при определенном выборе этих констант выражение (2.3) можно рассматривать как асимптотическое решение краевой задачи, соответствующее заданным условиям на контуре и справедливым при λ_x‹‹а, λ_y‹‹b в области, достаточно удаленной от контура пластинки.

Решение вблизи границы х = 0 будем искать в виде:

 

(2.5)

 

Подстановка в уравнение (2.3) дает

 

 

Соответствующее характеристическое уравнение

 

 

имёет два чисто мнимых и два действительных корня

 

,

 

Здесь

 

(2.6)

 

Общий интеграл уравнения (2.5) имеет вид

 

 

В этом интеграле последний член, неограниченно возрастающий с увеличением х, должен быть отброшен. Первые два оставшихся члена полностью соответствуют асимптотическому представлению (2.3) для внутрённей области пластинки; первые три члена, взятые вместе, описывают динамический краевой эффект в пограничной зоне:

 

 

Пользуясь выражением (2.6) нетрудно оцёнить ширину области динамического краевого эффекта.

Учитывая, что С₃²~С₁² + С₂² можно считать, что, вклад последнего члена в выражение (2.1) оценивается множителем

 

 

Пусть х = λ_х. Тогда при β_х=1 имеем . Даже в самом неблагоприятном случае (β_х= 0) получается . Таким образом, ширина области динамического краевого эффекта не превышает длины полуволны.

Рассмотрим некоторые частные случаи граничных условий, положив в основу решение (2.6) для полностью защемленной стороны Х(0)=Х′(0)=0;

Отсюда

 

С₂+С₃=0,

 

и следовательно

 

 

далее потребуем чтобы

 

(2.7)

 

Нетрудно видеть, что

 

,

 

 

Окончательно получаем

 

(2.8)

 

Имея выражение (2.8), нетрудно найти изгибающие моменты в пластинке в зоне краевого эффекта. Поскольку изгибающий момент

 

(2.9)

 

то для линий, вдоль которых

 

 

получим

 

(2.10)

 

Поведение прогиба и изгибающего момента в зоне краевого эффекта показано на рисунке 2.2 и 2.3. При вычислениях было принято что β_х=1, μ=0,25.

 

Рисунок 2.2 – Схема поведения прогиба в зоне краевого эффекта

 

Рисунок 2.2 – Схема поведения изгибающего момента в зоне краевого эффекта. Штриховыми линиями показаны решения для внутренней области.

 

Рассмотрим более общий случай упругого защемления с коэффициентом жесткости с. Тогда:

 

,

 

функция Х (х) должна удовлетворять условиям;

 

X(0) = 0,

 

Подставляя сюда выражение (2.6), получим

 

C₂+C₃=0

 

Отсюда

(2.11)

Из условия (2.7) найдем, что

 

(2.12)

 

При с→0 выражение (2.11) с коэффициентом (2.12) превращается в обычное решение для свободно опертой пластинки; при с→+∞ мы приходим к выражению (2.7).

Не будем останавливаться здесь на других случаях граничных условий, рассмотрение которых элементарно. В частности, можно построить решение, описывающее динамический краевой эффект вблизи подкрепляющего стержневого элемента, который сопротивляется изгибу и кручению.

Из изложенного следует, что для типичных краевых условий легко установить связь между максимальным напряжением σ в зоне краевого эффекта и амплитудой f колебаний во внутренней, области. Например, для заделанного края

 

(2.13)

 

Это соотношение соответствует некоторой паре длин полуволн λ_х, λ_у,: или некоторой паре волновых чисел m, n. В общем случае

 

(2.14)

 

где f _mn— обобщенные координаты, характеризующие вклад каждой формы колебаний в движение пластинки, s_mn — коэффициенты динамического краевого эффекта.

До сих пор мы рассматривали задачу об исследовании динамического краевого эффекта при собственных колебаниях, полагая длины полуволн λ_х, λ_у известными. Покажем, как могут быть найдены эти величины и попутно частоты собственных колебаний пластинки.

Рассмотрим, например, прямоугольную в плане пластинку, защемленную. по всему контуру. Наряду с функцией Х(х), рассмотрим функцию

 

где β= λ_х/λ_у.

Выражение

 

 

удовлетворяет всем краевым условиям на границе у = 0 и при больших у приближается к,,внутреннему” решению (2.3).

Формы собственных колебаний прямоугольной защемленной по всему контуру пластинки распадаются на четыре группы по типам симметрии. Для первого типа (симметричные в обоих направлениях формы) должно быть

 

 

т.е.

 

, (2.15)

 

для второго типа (антисимметричные в обоих направлениях формы)

 

 

откуда

 

, (2.16)

 

два смешанных типа получим, комбинируя одно из условий из (2.15) с другим из (2.16).

Для каждого типа мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными длинами полуволн λ_х, λ_у. Найдя эти величины, легко вычислить соответствующую собственную частоту (2.4).

Этот метод применим, строго говоря, лишь при условии, что λ_х<<а, λ_у<<b.

Вычисления показывают, однако, что он дает удовлетворительные решения даже для общей формы колебаний защемленной пластинки.

 

Рассмотрим вначале цилиндрический. изгиб (λ_у→∞, β_х→0). Легко найдем, что

 

(m=1,2,…) (2.17)

 

Отсюда получаем формулу для собственных частот

 

(m=1,2,…) (2.18)

 

совпадающую с хорошо известной асимптотической формулой. При m= 1 точное решение дает в формуле для частоты числовой коэффициент 4,730²=22,373, в то время как асимптотическая формула (2.18) содержит коэффициент 3,142². 1,500² = 22,207 Разница составляет менее 1 %.

Применим тот же метод к квадратной пластинке а =b. При этом особенно простое решение получается для тех форм колебаний, у которых λ_х=λ_у

Тогда уравнения (2.15) и (2.16) принимают вид

 

,

 

отсюда

 

(m=1,2,…)

 

причем нечетные волновые числа m соответствуют симметричным формам колебаний, четные — антисимметричным формам.

Собственные частоты определяются по формуле

 

(m=1,2,…) (2.19)

 

Рассмотрим теперь общий случай. Уравнения типа (2.15) и (2.16) легко могут быть сведены к одному уравнению, содержащему отношение β_х= λ_х/λ_у

Это уравнение получается общим для всех четырех типов форм колебаний.

 

(m=1,2,…) (2.20)

 

где обратные тригонометрические функции понимаются в смысле главного значения. При больших m и n имеет место асимптотическая формула

 

(2.21)

 

для квадратной защемленной пластинки вычисления были сделаны Игути, который искал решение уравнение в виде ряда, удовлетворяющего условиям на контуре, и использовал прием, близкий к вариационному. Значения коэффициентов частоты α в формуле

 

 

найденные Игути, и значения, полученные асимптотическим методом, приведены в таблице. Расхождение по этим значениями невелико.

 

 

Таблица 2.1 – Сравнение значений коэффициентов частоты по Игути

и найденных асимптотическим методом

 

m	n	βx	a/λx	a/λy	α	Расхождение %
Данный метод	По Игути
		1,0000	4/3	4/3	3,556	3,646	2,53
		2,0265	2,4372	1,2027	7,386	7,437	0,69
		1,0000	7/3	7/3	10,889	10,965	0,70
		3,0375	3,4688	1,1420	13,337	13,396	0,42
		1,5079	3,4012	2,2556	16,656	16,717	0,37
		1,0000	10/3	10/3	22,222	-	-
		4,0432	4,4816	1,1084	21,313	-	-
		2,0132	4,4366	2,2038	24,540	24,631	0,36
		1,3370	4,3822	3,2784	29,960	-	-
		1,0000	13/3	13/3	37,556	-	-