Постановка задачи для прямоугольной пластины

ВВЕДЕНИЕ

Поведение конструкций, подверженных воздействию статистических и динамических нагрузок, зависит от ряда факторов случайной природы. Эти факторы по своему происхождению могут быть разбиты на две группы.

К одной группе относятся геометрические и физические параметры самой конструкции: случайные отклонения от идеальной геометрической формы, разброс способов осуществления краевых условий, разброс упругих и прочностных характеристик материала и т.д..

Ко второй группе принадлежат случайные факторы, характеризующие нагрузку и другие внешние условия эксплуатации.

Перечисленные факторы в той или иной мере присущи любой конструкции. Но вопросы исследования методов теории случайных колебаний интенсивнее всего разрабатываются в теории пластин и оболочек [1,6].

Этому можно дать два объяснения. Во-первых, тонкостенные конструкции особенно чувствительны к малым изменениям начальной формы, малым вариациям краевых условий и т.д.. Во-вторых, тонкостенные конструкции являются наиболее интересными в современной технике объектами для приложения методов теории случайных процессов. В качестве примера достаточно указать на элементы обшивки летательных аппаратов, испытывающих случайную нагрузку под действием атмосферной турбулентности, пульсаций в турбулентном пограничном слое, акустического излучения от работающих авиадвигателей, метеоритной пыли и т.д..

Хорошо известно, что пластинки обладают более густым спектром частот собственных колебаний, чем стержни и стержневые системы. Поэтому, если частоты возбуждения достаточно велики, то так называемая отстройка от резонанса становятся практически неосуществимой. Положение усугубляется когда возбуждение имеет сплошной спектр, как, например, в случае нагрузок, порождаемых атмосферной турбулентностью или акустическим излучением работающих двигателей. Одновременно может возбуждаться группа форм колебаний, которым соответствуют различные волновые числа. В связи с этим задача определения напряжений и об оценке усталостной прочности пластинок, колеблющихся с различными частотами спектра, представляет значительный практический интерес.

Если волновые числа достаточно велики, то для форм колебаний могут быть построены асимптотические выражения. Эти выражения пригодны всюду, кроме областей непосредственно примыкающих к границе контура или к другим линиям, на которых задаются граничные условия; граничным условиям асимптотические выражения, вообще говоря, не удовлетворяют. Между тем опыт показывает, что колеблющиеся пластинки обычно разрушаются от усталости у заделанных кромок, у подкрепляющих элементов и в других аналогичных местах. Поэтом у возникает мысль об отыскании таких решений, которые удовлетворяли бы всем граничным условиям на контуре, и стремились бы к асимптотическим выражениям для форм колебаний, при удалении во внутреннюю области. Найденные таким образом решения для пограничной области во многом напоминают решения описывающие простой краевой эффект в оболочках. При статическом расчете оболочек ищут такие решения для пограничной зоны, которые удовлетворяют всем граничным условиям на примыкающем контуре и асимптотически стремятся к безмоментному решению по мере удаления от границы контура. Здесь требуется неограниченное приближение к асимптотическим выражениям для форм собственных колебаний. По аналогии с краевым эффектом в оболочках, отклонение от асимптотических представлений для форм колебаний, наблюдающееся в пограничной области, будем называть динамическим краевым эффектом [4].

Расчленяя решение уравнения колебаний пластинки на асимптотическое решение во внутренней области, и на решение, описывающее динамический краевой эффект, получаем метод динамического расчета пластинок, особенно эффективный в случае пластинок прямоугольных в контуре и, произвольно закрепленных по контуру. При рассмотрении вынужденных колебаний, которым соответствуют достаточно большие волновые числа, предлагается использовать разложения в ряды по асимптотическим выражениям для форм собственных колебаний.

Найдя коэффициенты этого ряда и используя связь между решением во внутренней области и динамическим краевым эффектом, легко вычислить напряжения в пограничной зоне. Хотя метод является обоснованным лишь для достаточно больших волновых чисел, в ряде случаев он дает вполне удовлетворительное решение и для низших форм колебаний. Так, он оказался весьма эффективным средством для вычисления всего спектра частот собственных колебаний прямоугольной пластинки, жестко или упруго защемленной по контуру.

В дипломной работе предполагается подход к анализу стохастических колебаний прямоугольной пластины, жестко защемленной со всех сторон и находящейся под действием поперечной нагрузки типа «белый шум».

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ