Задача а РПР. Расчёт статически определимого вала на прочность и жёсткость.

Задаётся: схема нагружения вала (рис.1, а), длины участков вала: l ₁= 2 l; l ₂=2 l; l ₃= l; l ₄= l; l ₅= 2 l, размеры наружных диаметров: D₁= 2d; D₂= 2d; D₃= 3d; D₄= 3d; D₅= 2d, размеры внутренних диаметров: d₁= 1,5d; d₂=d₃=d₄= 0; d₅= d, величины распределённых моментов: m₁= -4m; m₂= 5m; m₃= 0; m₄= 0; m₅= -2m, величины сосредоточённых моментов: М₁= 2М; M₂= -6M; M₃= 4M; M₄= -10M; M₅= 8M; m=200нм/м; l = 0,5м; M= m l; G = 0,8×10⁵МПа; [t] = 80МПа; [Q] = 0,25град/м. При расчетах учитывать соотношения: 1МПа=10⁶Па=1Н/мм²=10⁶Н/м².

Требуется: 1) построить эпюры крутящих моментов М_к, касательных напряжений t_max и углов закручивания j; 2) из условия прочности и условия жёсткости определить размеры поперечных сечений вала.

 

 

2M 6M 4M 10M 8M

4m 5m 2m

 

а) z

MR

2 l 2 l l l 2 l

400 эп. М_к

M_K, 400 800

Н×м 200

б) z

200

400

800 600

эп. 5,84

4,0 2,92

в) 1,37 z

0,51 1,22

4,0

5,48 2,640

0,4 l эп.j

г) 0,2044 z

 

l 1,495 3,066

3,298 3,904

 

 

Рис. 1. Расчетная схема вала, эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания

Решение

1. Определение реактивного момента М_R в заделке (рис.1,а). Для определения реактивного момента составляется уравнение равновесия вала

åM_z= M_R+4m×2 l -2m-5m×2 l +6M-4M+10M+2m×2 l -8M= 0.

Учитывая, что М= m l, определяется реактивный момент M_R= -8m l +2M+10m l -6M+4M-10M-4m l +8m= -4M=-4×200 .

2. Разбивка вала на участки.

Для построения эпюры крутящих моментов М_к по длине вала необходимо рассмотреть пять участков с координатами: Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ (рис.1,а).

3. Определение законов изменения крутящего момента по участкам вала.

3.1. Первый участок (рис.2)

 

4m M_K1

 

z

M_R

 

Рис. 2. К определению М_к1 на первом участке

 

Координата z₁ для первого участка изменяется в пределах 0 £ Z₁ £ 2 l. Уравнение равновесия для отсечённой (левой) части вала имеет вид

; M_к1=M_R+ .

Крутящий момент на границах участка принимает значения: при z₁= 0 M_К1= -4М=-400Н×м, при z₁= 2 l M_К1= -4М+8М= 4М=400Н×м.

3.2. Второй участок (рис.3)

2M

4m 5m M_K2

 

z

 

M_R

2l z₂

 

Рис. 3. К определению М_К2 на втором участке

На втором участке координата z₂ изменяется в пределах 0 £ Z₂ £ 2 l. Уравнение равновесия для отсечённой части вала записывается в виде

, .

Крутящий момент на границах участка принимает значения:

при z₂=0 М_К2= 2M=200Н×м, при z₂= 2 l M_К2= -8М=-800Н×м.

 

3.3. Третий участок (рис. 4)

 

6M M_K3

2M

4m 5m

 

z

 

 

M_R 2l 2l z₃

 

Рис. 4. К определению М_К3 на третьем участке

 

Координата z₃ для третьего участка изменяется в пределах 0 £ Z₃ £ l. Уравнение равновесия отсечённой части вала и значения крутящего момента в граничных сечениях участка соответственно равны:

Sm_z= -M_R-4m×2 l +2M+5m×2 l -6M+M_К3= 0, М_К3= -2М=-200Н×м.

На третьем участке крутящий момент постоянен по длине участка и равен М_К3= -2М=-200Н×м.

 

3.4. Четвёртый участок (рис. 5).

 

На четвёртом участке координата z₄ изменяется в пределах 0 £ Z₄ £ l. Уравнение равновесия для отсечённой части вала записывается в виде

 

Sm_z= -M_R-4m×2 l +2m+5m×2 l -6M+4M+M_К4= 0, М_К4= -6М=-600Н×м.

 

На четвёртом участке крутящий момент постоянен по длине участка и равен М_К4= -6М=-600Н×м.

 

6M 4M M_K4

2M

4m 5m

 

z

 

M_R

2l 2l l z₄

 

Рис.5. К определению М_К4 на четвёртом участке

 

3.5. Пятый участок (рис. 6)

 

6M 4M 10M

2M M_K5

4m 5m 2m

 

z

 

M_R

2l 2l l l z₅

 

Рис. 6. К определению М_К5 на пятом участке

 

Координата z₅ на пятом участке изменяется в пределах 0 £ Z₅ £ 2 l. Уравнение равновесия для отсечённой части вала имеет вид

Sm_z = -M_R-4m×2 l -2m-5m×2 l -6M+4M-10M- M_К5= 0;

M_К5= 4М+2mZ₅.

 

Крутящий момент на границах пятого участка принимает значения:

при z₅=0 M_К5= 4M=400Н×м; при z₅= 2 l M_К5= 8М=800Н×м.

По результатам вычислений строится эпюра крутящих моментов М_К (рис.1, б)

 

4. Определение закона изменения касательного напряжения по участкам вала.

Для определения касательного напряжения по участкам вала пред-варительно вычисляются полярные моменты сопротивления сечений:

 

Затем наименьшее значение полярного момента сопротивления (в данном примере ) принимается за и определяют-ся значения полярных моментов сопротивления поперечных сечений вала пропорционально ; ; ; ; .

 

4.1. На первом участке закон изменения касательного напряжения в соответствии с формулой (3) имеет вид:

.

Касательное напряжение линейно зависит от координаты Z₁ и на границах участка принимает значения:

при z₁= 0 ; при z₁= 2 l .

 

4.2. На втором участке касательное напряжение на границах участка принимает значения:

;

при z₂ = 0 ; при z₂ = 2 l .

 

4.3. На третьем участке касательное напряжение равно:

.

4.4. Касательное напряжение на четвертом участке равно:

.

 

4.5. На пятом участке касательное напряжение линейно зависит от координаты z₅ и на границах участка принимает значения:

;

при z₅ = 0 ; при z₅= 2 l .

По результатам вычислений строится эпюра касательных напряжений t_max (рис. 1, в).

 

5. Определение размеров поперечных сечений вала из условия проч-ности.

Опасным является сечение, в котором действует наибольшее максимальное касательное напряжение.

Следовательно условие прочности запишется: max . Из условия прочности определяется диаметр вала в опасном сечении:

.

6. Определение размеров поперечных сечений вала из условия

жесткости. Условие жесткости записывается для сечения, где действует наибольший крутящий момент (рис. 1,б), при наименьших соотношениях размеров поперечного сечения вала. Для рассматриваемого примера усло­вие жесткости записывается для крайнего правого сечения вала (на 5 уча­стке).

где ,

Из условия жесткости определяется диаметр вала:

Анализируя значения диаметра вала, полученные из условия прочно­сти и условия жесткости, окончательно принимаем . Соответственно, размеры сечений вала по участ­кам равны: ; ; ;

 

7. Определение закона изменения углов закручивания на участках вала.

Для определения углов закручивания по участкам вала пред-варительно вычисляются полярные моменты инерции сечений:

I_P1= pD₁⁴(1-a⁴)/32 = p(2d)⁴[1-(1,5d/2d)⁴]/32= 1,074d⁴;

I_P2= pD₂⁴/32 = p(2d)⁴/32 = 1,571d⁴;

I_P3=pD₃⁴/32 = p(3d)⁴/32 = 7,951d⁴;

I_P4=pD₄⁴/32 = p(3d)⁴/32 = 7,951d⁴;

I_P5= pD₅⁴(1-a⁴)/32 = p(2d)⁴[1-(d/2d)⁴]/32 = 1,472d⁴.

 

7.1. На первом участке угол закручивания в соответствии с законом Р.Гука равен:

Угол закручивания изменяется по кривой второго порядка и на границах участка принимает значения

при z₁= 0 , при z₁= 2 l

Определим выпуклость кривой , следовательно кривая выпукла вниз.

Условие экстремума кривой ,

, следовательно функция имеет экстремум при z₁ = l.

Вычислим угол закручивания

при z₁ = l

7.2. На втором участке угол закручивания изменяется по кривой

второго порядка

Угол закручивания на границах второго участка принимает значения

при z₂=0 при z₂=2 l

Определим выпуклость кривой . Следовательно кривая выпукла вверх.

Условия экстремума кривой

.

Следовательно функция имеет экстремум при z₂=0,4 l. Вычислим угол закручивания при z₂=0,4 l

7.3. На третьем участке угол закручивания равен:

при z₃=0 ,

при z₃= l

 

7.4. Угол закручивания на четвертом участке равен:

при z₄=0 ,

при z₄= l

 

7.5. На пятом участке угол закручивания изменяется по кривой

второго порядка:

Угол закручивания на границах пятого участка принимает значения

при z₅=0 ;

при z₅=2 l

Определим выпуклость кривой . Следовательно кривая выпукла вниз. Условие экстремума кривой:

, . Следовательно, функция имеет экстремум за пределами (z₅ = -2 l) пятого участка. По результатам вычислений строится эпюра углов закручивания j по длине вала (рис. 1, г).

 

8. В классе ПЭВМ кафедры студент реализует машинный вариант выполнения РПР, сопоставляет результаты традиционного и машинного расчетов.

9. В соответствии с расчетными данными выполняется эскиз вала.