Определение приемлемого и бракуемого уровня входной дефектности

По заданному значению риска поставщика a и риска потребителя b на КВП на оси P наносятся значения P_a = 1 - a и P_b = b. По ним с помощью графика находятся q_a - приемлемый и q_b - бракуемый уровень входной дефектности, соответственно:

P (q_a ) = 1 - a; P(q_b ) = b.

Строится кривая среднего уровня выходной дефектности (КСУВД)

3.1. Средняя выходная дефектность q_L для заданного значения входной дефектности q определяется по формуле

 

Для построения КСУВД заполняется таблица аналогичная таблице 4.

Таблица 4

Данные для расчета выходной дефектности q_L при c = 1 и n = 50.

P	1,00	0,96	0,74	0,41	0,20	0,09	0,04
q	0,0	0,6	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0
qL	0,00	0,58	1,48	1,64	1,20	0,72	0,40

 

3.2. По таблице 4 строится график зависимости q_L = f(q), характерный вид которого приведен на рис. 2.

 

Рис. 2. Кривая среднего уровня выходной дефектности

при c = 1 и n = 50

3.3. По КСУВД находится максимальное значение средней выходной дефектности q_max, которой соответствует некоторый уровень входной дефектности q' (рис. 2)

3.4. Делается анализ зависимости q_max от значений параметров контроля c и n.

Выводы

В выводах студенты анализируют результаты проделанной работы.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое риск потребителя?

2. Что такое риск поставщика?

3. Что такое приемлемый уровень входной дефектности?

4. Что такое бракуемый уровень входной дефектности?

5. Как строится кривая вероятности приемки (КВП)?

6. Что такое средняя выходная дефектность партии?

7. Как строится кривая среднего уровня выходной дефектности?

Практическая работа № 8

 

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

Цель работы: исследование качества продукции методами статистического анализа.

 

 

Теоретическая часть

 

Взяв выборку из генеральной совокупности и вычисляя статистические характеристики этой выборки - X и S, можно с некоторой приближенностью считать, что эти характеристики по своим величинам будут близки к соответствующим параметрам генеральной совокупности – X₀ и σ₀, т.е. это их оценки.

Если

X₀ ≈ X, σ₀ ≈ S,

где X₀, X – среднеарифметические значения случайной величины соответственно в генеральной совокупности и в выборке объема n;

σ₀ , S – среднеквадратичные отклонения изучаемой величины соответственно генеральной совокупности и в выборке из нее,

то по заданной точности ε и вероятности α приближенного равенства σ₀ ≈ S можно определить необходимый объем выборки

 

n ≥ t² / 2q², (1)

 

где t определяется в зависимости от вероятности α, q = ε / σ.

 

Значения t, q и α задает преподаватель. По этим величинам определяется объем выборки.

Затем студенты измеряют параметр X. При этом необходимо, чтобы цена деления шкалы измерительного инструмента была бы равна (1/6, …, 1/10) 2d, где 2d – допуск на размер детали.

Результаты измерений записываются в табл. 1.

 

Таблица 1. Результаты измерений

№№	X	№№	X	№№	X
…		…		…

Далее необходимо обработать статистические данные. Находится наибольшее X_max и наименьшее X_min значения наблюдаемого параметра X.

Размах варьирования или широта распределения при этом составляет

X_max - X_min. (2)

 

Задав число интервалов n (m 7 при n = 5 – 100, m = 9 – 15 при n 100), определяем цену интервала:

 

C = (X_max - X_min)/ m (3)

 

Цена интервала должна быть больше (или равна) цены деления шкалы измерительного инструмента или прибора, что компенсирует погрешность измерения. Подсчет частот по каждому интервалу удобно производить следующими способами. Слева выписывают интервалы от X_min до X_min+С; от X_min+С до X_min+2С и т.д. В каждый интервал включают размеры, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно, до наибольшего значения интервала, исключая его. Справа при помощи черточек подсчитывают число размеров по интервалам (табл. 2).

 

Таблица 2. Расчет числа размеров по интервалам

 

Интервалы	Подсчет частот	Частота f
От	до
Xmin Xmin+С … …	Xmin+С Xmin+2С … Xmax	| | | | | | | | | … | |	… Σ fi = n

 

По данным таблицы 2 вычерчивают эмпирическую (экспериментальную) кривую распределения (по оси абсцисс откладывают середины интервалов, по оси ординат – частоты). На основании таблицы частот и эмпирической кривой распределения выдвигается гипотеза о распределении случайной величины. В нашем случае правомерна гипотеза о нормальном распределении, которое часто применяется при решении задач математической статистики и статического контроля качества. Такое распределение свидетельствует об устойчивости технологического процесса, так как замеры со значительными отклонениями от номинального размера встречаются редко. Выдвинутую гипотезу необходимо проверить.

Чтобы найти и проверить закон распределения студенты рассчитывают числовые характеристики:

· cреднеарифметическое отклонение по формуле

(4)

 

· среднеквадратичное отклонение по формуле

(5)

где n – объем выборки;

x_i – найденные размеры.

Вычисление среднеарифметического и среднеквадратичного отклонения при наличии обширных рядов измерений всегда трудоемко. Поэтому на практике для расчета этих статистических характеристик составляют таблицу предварительной обработки данных (табл. 3).

 

Таблица 3. Расчет статистических характеристик измеряемых величин

 

Интервал	Середина интервала Xi	Частота fi	fi Xi	(xi – x)	(xi– x)2	fi(xi– x)2
от	До
			Σ fi	Σfi Xi			Σfi(xi– x)2

 

 

Тогда вместо формулы (4) можно воспользоваться формулой (6):

 

а вместо формулы (5) можно делать расчеты по формуле

(7)

 

Теперь следует проверить гипотезу нормальности распределения совокупности, из которой была взята выборка. Для этого нужно составить вспомогательную таблицу для вычисления критерия λ (табл. 4).

 

Таблица 4. Промежуточные расчеты

 

Середина разряда Xi	t	Zt	f=(nc/S) Zt	f	Nx’	Nx	| Nx’- Nx |

 

В таблице значение t вычислено по формуле:

(8)

 

Значения Z_t взяты из таблицы 5.

 

Таблица 5. Нормальное распределение вероятностей

 

T	Zt	t	Zt	t	Zt
0,0	0,3989	1,4	0,1497	2,8	0,0070
0,1	0,2980	1,5	0,1295	2,9	0,0060
0,2	0,3910	1,6	0,1109	3,0	0,0044
0,3	0,3814	1,7	0,0940	3,1	0,0033
0,4	0,3683	1,8	0,0790	3,2	0,0024
0,5	0,3521	1,9	0,0656	3,3	0,0017
0,6	0,3332	2,0	0,0540	3,4	0,0012
0,7	0,3123	2,1	0,0440	3,5	0,0009
0,8	0,2897	2,2	0,0355	3,6	0,0006
0,9	0,2661	2,3	0,0289	3,7	0,0004
1,0	0,2420	2,4	0,0224	3,8	0,0003
1,1	0,2179	2,5	0,0175	3,9	0,0002
1,2	0,1942	2,6	0,0136
1,3	0,1714	2,7	0,0104

 

Значение nc/S постоянно для всех значений Z_t. Определяется f’ - теоретическая частота. По теоретическим частотам f’ строится теоретическая кривая распределения в том же масштабе, что был принят для построения эмпирической кривой. Совмещая эмпирическую и теоретическую кривые распределения, можно предварительно оценить близость эмпирического распределения к предлагаемому теоретическому. Для более точной оценки нужно вычислить N_x и N_x’ – накопленные эмпирические и теоретические частоты, прибавляя к каждому значению f_i и f’ суммы предшествующих значений f_i-1 или f’_i-1.

Критерий λ находится по формуле:

(9)

 

По таблице 6 находится P (λ).

 

Таблица 6. Определение вероятности критерия λ

 

λ	P (λ)	λ	P (λ)	λ	P (λ)
0,30	1,0000	0,80	0,5441	1,60	0,0120
0,35	0,9997	0,85	0,4653	1,70	0,0062
0,40	0,9972	0,90	0,3927	1,80	0,0032
0,45	0,9874	0,95	0,3275	1,90	0,0015
0,50	0,9639	1,00	0,2700	2,00	0,0007
0,55	0,9228	1,10	0,1777	2,10	0,0003
0,60	0,8643	1,20	0,1122	2,20	0,0001
0,65	0,7920	1,30	0,0681	2,30	0,0000
0,70	0,7112	1,40	0,0397	2,40	0,0000
0,75	0,6272	1,50	0,0222	2,50	0,0000

Если вероятность P (λ) окажется очень малой (практически, когда P (λ)≤ 0,05), то расхождение эмпирического и теоретического распределения считается существенным, а не случайным, и гипотеза о нормальности закона распределения величины X отвергается.

Процент возможного брака определяется из сопоставления X, S и заданных границ допуска x_1, x₂.

Процент возможного брака по верхнему пределу:

(10)

 

Процент возможного брака по нижнему пределу:

(11)

 

Вероятное количество годных изделий в партии

(12)

 

где Φ(t₁) – нормированная функция Лапласа (находится по табл. 7);

x_1, x₂ – соответственно верхняя и нижняя границы поля допуска.

 

Таблица 7. Нормированная функция Лапласа

 

t	Φ(t)	t	Φ(t)	t	Φ(t)
0,00	0,0000	0,74	0,2704	1,48	0,4306
0,02	0,0008	0,76	0,2764	1,50	0,4332
0,04	0,0016	0,78	0,2823	1,52	0,4357
0,06	0,0024	0,80	0,2881	1,54	0,4382
0,08	0,0032	0,82	0,2939	1,56	0,4406
0,10	0,0040	0,84	0,2995	1,58	0,4429
0,12	0,0048	0,86	0,3051	1,60	0,4452
0,14	0,0557	0,88	0,3106	1,62	0,4474
0,16	0,0636	0,90	0,3159	1,64	0,4495
0,18	0,0714	0,92	0,3212	1,66	0,4515
0,20	0,0793	0,94	0,3264	1,68	0,4533
0,22	0,0871	0,96	0,3315	1,70	0,4554
0,24	0,0948	0,98	0,3365	1,72	0,4573
0,26	0,1026	1,00	0,3412	1,74	0,4591
0,28	0,1103	1,02	0,3461	1,76	0,4608
0,30	0,1179	1,04	0,3508	1,78	0,4625
0,32	0,1255	1,06	0,3554	1,80	0,4661
0,34	0,1331	1,08	0,3599	1,82	0,4656
0,36	0,1406	1,10	0,3643	1,84	0,4671
0,38	0,1480	1,12	0,3686	1,86	0,4688
0,40	0,1554	1,14	0,3729	1,88	0,4699
0,42	0,1628	1,16	0,3770	1.90	0,4713
0,44	0,1700	1,18	0,3810	1,92	0,4726
0,46	0,1772	1,20	0,3849	1,94	0,4738
0,48	0,1844	1,22	0,3888	1,96	0,4750
0,50	0,1915	1,24	0,3925	1,98	0,4761
0,52	0,1985	1,26	0,3962	2,00	0,4772
0,54	0,2054	1,28	0,3997	2,02	0,4783
0,56	0,2123	1,30	0,4032	2,04	0,4793
0,58	0,2190	1,32	0,4066	2,06	0,4803
0,60	0,2257	1,34	0,4099	2,08	0,4812
0,62	0,2324	1,36	0,4131	2,10	0,4821
0,64	0,2389	1,38	0,4162	2,12	0,4830
0,66	0,2454	1,40	0,4192	2,14	0,4838
0,68	0,2517	1,42	0,4222	2,16	0,4846
0,70	0,2580	1,44	0,4251	2,18	0,4854
0,72	0,2642	1,46	0,4279	2,20	0,4861
2,22	0,4868	2,48	0,4934	2,78	0,4973
2,24	0,4875	2,50	0,4938	2,82	0,4976
2,26	0,4881	2,52	0,4941	2,86	0,4979
2,28	0,4887	2,54	0,4945	2,90	0,4981
2,30	0,4893	2,56	0,4948	3,00	0,4986
2,32	0,4898	2,58	0,4951	3,20	0,4993
2,34	0,4904	2,60	0,4953	3,40	0,4996
2,36	0,4909	2,62	0,4956	3,60	0,4998
2,38	0,4913	2,64	0,4959	3,80	0,499929
2,40	0,4918	2,66	0,4961	4,00	0,499968
2,42	0,4922	2,68	0,4963	4,50	0,499997
2,44	0,4927	2,70	0,4965	5,00	0,499999
2,46	0,4931	2,74	0,4969

 

 

Практическая часть

 

1. Студенты получают у преподавателя исходные данные для исследования партии деталей (табл. 8).

 

Таблица 8. Исходные данные для измерений

Номер варианта	t	a	q
	1,70	0,9101	0,17
	1,79	0,9266	0,17
	1,80	0,9282	0,18
	1,85	0,9356	0,18
	1,87	0,9386	0,18
	1,90	0,9426	0,18
	1,91	0,9438	0,18
	1,92	0,9452	0,19
	1,93	0,9464	0,19
	1,94	0,9476	0,19
	1,95	0,9488	0,19
	1,96	0,9500	0,20
	1,99	0,9534	0,20
	2,00	0,9544	0,20
	2,08	0,9600	0,20
	2,10	0,9600	0,20
	2,14	0,9488	0,19
	2,20	0,9680	0,21
	2,20	0,9680	0,22
	2,40	0,9722	0,22

2. Определяется объем выборки (формула 1).

3. Берется выборка требуемого объема. В таблице 1 приводятся результаты измерений.

4. Проводится обработка статистических данных, и вычисляются характеристики распределения (табл. 3-7).

5. Вычерчивается эмпирическая кривая распределения.

6. Определяется критерий согласия, строится график теоретического распределения и сравнивается с экспериментальной кривой распределения (формулы 8,9).

7. Определяется вероятный процент брака и годных деталей в партии исследуемых деталей (формулы 10-12).

 

Выводы

Студенты формулируют выводы и предложения по результатам выполненного статистического исследования.

 

Контрольные вопросы

1. Назовите виды статистического контроля качества.

2. В чем заключается эффективность статистических методов контроля качества?

3. Где можно применять статистические методы контроля качества?

4. Что характеризует среднеарифметическое значение и среднеквадратичное отклонение?

Практическая работа № 9