Вариационного ряда распределения

Вопросы:

1.Мода

2. Медиана

3.Понятие квартили, децили и перцентили

4. Децильные коэффициенты

5. Квартильные коэффициенты

 

 

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения признака. К таким показателям относится мода и медиана.

 

1. Мода- это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

 

Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующихся наибольшим спросом у покупателей, наиболее распространенной цены на тот или иной товар на рынке и т.д.

 

В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой (частостью).

 

Например:

Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.	Число рабочих (веса)
Итого

 

Наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

 

 

При расчете моды для интервального вариационного ряда необходимо вначале определить модальный интервал, в пределах которого находится мода, а затем значение модальной величины признака.

 

Модальный интервал- это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

 

Мо= +h

 

где -нижняя граница модального интервала;

h- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

 

Например: имеются следующие данные обобщения итогов выборочного бюджетного обследования населения города Новосибирска:

 

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, тыс. руб.	Число жителей	Накопленные частости (S)	Середина интервала (х)
чел. (f)	в % к итогу
До 0,5		0,9	0,9	0,25
0,5-1,0		16,5	17,4	0,75
1,0-1,5		24,6	42,0	1,25
1,5-2,0		18,8	60,8	1,75
2,0-2,5		15,4	76,2	2,25
2,5-3,0		12,5	88,7	2,75
3,0 и более		11,3	100,0	3,25
Итого		100,0	-	-

 

Модальное значение признака, используя в качестве весов частости распределения получим:

 

Мо= 1,0+0,5 тыс. руб.

 

Таким образом, наиболее часто встречающаяся величина среднедушевого дохода составляет 1290 руб.

 

Расчет моды с использованием в качестве весов частот распределения дает аналогичный результат:

 

Мо=1,0+0,5 тыс. руб.

 

Вычисление моды в интервальном ряду является весьма условным.

 

Мода и средняя величина по – разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности.

Мода по своему обобщающему значению менее точна по сравнению со средней арифметической, характеризующей совокупность в целом с учетом всех без исключения элементов совокупности.

 

 

2. Медиана- это вариант, который находится в середине вариационного ряда.

Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

 

В ряду, состоящем из 15 чисел, медианой будет 8-е число, от которого как вниз,так и вверх будет расположено по 7 чисел.

 

Например:

 

А: Дан нечетный вариационный ряд роста студенток:

156 158 160 161 166 168 172

Таким образом, центральным числом (медианой) данного ряда является рост студентки -161 см.

 

В случае четного вариационного ряда медиана определяется следующим образом: серединные два члена вариационного ряда складываются и делятся пополам.

 

В: Дан четный вариационный ряд роста студенток:

155 156 158 160 161 166 168 172

 

Ме= .

 

Если варианты в ряду распределения заданы в виде интервалов, то первоначально находят медиальный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда.

 

Медиальный интервал- это интервал, в котором находится порядковый номер медианы.

 

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

 

Ме= ,

 

где - нижняя граница медиального интервала;

i- величина медиального интервала;

- сумма накопленных частот в интервалах предшествующих медиальному;

- частота медиального интервала.

Например: В интервальном ряду даны группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека. Требуется определить для этого ряда серединное значение, т.е. медиану.

 

Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб.	Число семей
До 900
900-1200
1200-1500
1500-1800
Свыше 1800
Итого

Ме=1200+300 руб.

 

Следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека 1360 руб., а 50% имеют доход на одного человека > 1350 руб.

 

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

 

3. Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой.

К порядковым статистикам принадлежат и экстремальные значения признака, т.е. минимальные и максимальные в данном ряду. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили; в первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартилью можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих десятые части – децилях и т.д.

 

Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядкового номера соответствующего варианта, а затем по накопленным частотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже абсолютно аналогично нахождению медианы.

 

Таким образом, к структурным характеристикам относятся и другие порядковые статистики: квартили – делящие ряд на 4 равные части, децили- делящие ряд на 10 частей, перцинтили- на 100 частей и т.д.

4. Общая схема расчета децилей следующая:

 

1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частостям определим интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили - интервал, где находится вариант, отсекающий 10% совокупности с наименьшими значениями признака; для второй - 20% и т.д.; для девятой децили – интервал, содержащий вариант, отсекающий 90% с наименьшими значениями, или, что то же самое, 10% с наибольшими значениями признака;

2) Рассчитаем величину децилей по формулам.

Например, первая и девятая децили находятся по формулам:

;

 

 

= .

 

Где- , -начала интервалов, где находятся первая и девятая децили;

 

, - величина интервалов, где находятся первая и девятая децили;

- общая сумма частот (частостей);

, - суммы (частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили;

, -частоты (частости) интервалов, содержащих первую и девятую децили.

 

Например: согласно имеющихся данных об итогах выборочного бюджетного обследования населения города Новосибирска (см. пример выше) первая дециль попадает в интервал от 0,5 до 1,0 тыс. руб. (сумма накопленных в этом интервале частостей составляет 17,4%, что превышает 10%), девятая дециль – в интервал от 3,0 тыс. руб. и более (в этом интервале находится 10 % населения с наибольшими доходами). Найдем величину соответствующих децилей.

 

тыс. руб.

 

Следовательно, максимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наименее обеспеченных жителей составила 776 руб.

 

тыс. руб.

 

Минимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наиболее обеспеченного населения города составляла 3058 руб.

 

Соотношение децильных коэффициентов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения ():

 

= .

 

В рассматриваемом примере:

 

3,9.

 

Это означает, что минимальный месячный среднедушевой доход 10% наиболее обеспеченного населения превышал максимальный доход 10% наименее обеспеченного населения в 3,9 раза.

 

5. Наряду с децилями применяются квартили.

Квартили- это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% единиц будут заключены между Q1 и Q2; 25% между Q2 и Q3 и остальные 25% превосходят Q3.

В интервальном вариационном ряду квартили внутри определенного по накопленным частотам интервалам рассчитывается по следующим формулам:

Нижний квартиль:

Q1= +i .

 

Верхний квартиль:

Q3= +i ,

Где х0 – нижняя граница квартильных интервалов;

i –величина интервала;

- сумма частот,

Sx1 – накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;

Sx3 – накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю

- частота квартильного интервала.

 

Если в качестве показателя центра распределения используется медиана, то Q2=Ме.

Например: В интервальном ряду распределения 50 учащихся по росту, определить верхний и нижний квартиль.

 

Распределение 50 учащихся по росту в интервальном ряду

Рост, см х	Число учащихся	Накопленные частоты
160-165
165-170
170-175
175-180
180-185
185-190
190-195
Всего		-

 

 

.

 

Следовательно, в ряду распределения по данным о распределении учащихся по росту первый квартиль составляет 170,8 см., а третий-180,8см, т.е. 25% учащихся имеют рост, не превышающий 170,8см., а у 75% учащихся рост не превышает 180,8 см.

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариационного и интервального ряда?

2. Что такое медиана и как она рассчитывается для интервального ряда?

3. Что такое квартили, децили?

4. Как рассчитываются квартили?

5. Каков порядок расчета децили?