Зауваження. Нехай 
. Тоді діленням елемента 
на елемент 
називається операція 
.
Приклади: поле раціональних дробів 
, дійсних чисел 
і поле комплексних чисел 
. Очевидно, 
. Говорять, що 
є підполем 
(крім того, підполем поля 
). З іншого боку, поля 
і 
називаються надполями або розширеннями поля 
.
Поле, що не є надполем ні для яких підполей називається простим (наприклад, поле 
- простуе).
Існують поля, що складаються із скінченного числа елементів. Такі поля називаються полями Галуа. Виявляється, число 
елементів скінченного поля завжди є степенем деякого простого числа 
: 
. Поле Галуа, що складається з 
елементів, позначається 
або 
. Оскільки мультиплікативна група 
поля 
складається з 
елемента, то 
, 
.
Адитивна група поля 
має фундаментальну особливість: результат додавання будь-якого елемента поля 
раз самим із собою дорівнює нулю. Число 
називається характеристикою поля, якщо сума, що складається з 
одиниць дорівнює нулю і 
- мінімальне число з такою властивістю. Характеристика поля 
позначається 
.
Адитивній групі поля 
такої властивості не має. У подібних випадках характеристика поля вважається рівною нулю.
11. Лінійні перетворення та матриці над полем.
Відображення 
: 
називається лінійним оператором з 
у 
, якщо виконуються наступні умови.
, 
, 
, 
.
Матрицею 
розміру 
над полем 
називається прямокутна таблиця, що складається з 
рядків і 
стовпців і містить 
елементів з 
.
Елемент 
матриці індексуються номером рядка 
та стовпця 
, на перетину яких він знаходиться.
Транспонуванням матриці 
розміру 
називається операція побудови матриці 
(інше позначення - 
) розміру 
, де 
.
Сумою матриць 
і 
розміру 
називається матриця 
, де 
. Множення матриці на константу виконується покомпонентно.
Лінійною формою над кільцем 
з вектором змінних 
і коефіцієнтами 
, називається функція 
. Для лінійної форми часто використовується позначення 
. Зауважимо, що можливий випадок 
, при 
.
Добуток 
матриці 
розміру 
на матрицю 
розміру 
визначено лише у випадку, коли 
і 
.
В окремому випадку множення матриці-рядка 
на матрицю-стовпець 
, результат визначається як 
(тобто, при цьому 
розглядається як вектор).
У загальному випадку елемент 
матриці 
визначається як 
, де 
- рядок матриці 
з номером 
, а 
- стовпець матриці 
з номером 
.
Рангом матриці називається ранг системи її векторів-стовпців.
Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу системи її векторів-рядків.
Матриця 
розміру 
називається квадратною, якщо 
. Кількість стовпців квадратної матриці називається її порядком. Діагоналлю з номером 
квадратної матриці 
порядку 
називається підмножина її елементів виду 
, 
. При 
, діагональ називається головною, всі інші діагоналі називаються побічними.
Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.
Нулем є матриця 
, що складається з усіх нулів. Одиницею - матриця 
, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.
Множення квадратної матриці порядку 
на матрицю-стовпець можна розглядати як операцію над векторами. Така операція є лінійним перетворенням 
- мірного векторного простору. Матриця називається оборотною, якщо вона здійснює взаємно однозначне перетворення.
Нехай 
- оборотна матриця. Матрицею оберненою до 
називається матриця 
, для якої виконуються умови 
.
12. Подільність цілих чисел. Алгоритм Евкліда.
Числа 1,2,3,…називаються натуральними. Число 0, а також числа виду 
, де 
натуральне число, називаються цілими числами. Відношення двох цілих чисел називається раціональним дробом і є записом результату ділення одного числа на інше. Ділення на нуль не визначено.Множина раціональних дробів є полем. Позначення 
.
Простим числом називається натуральне число, у якого є точно два нерівних натуральних дільники.
Основна теорема арифметики: кожне натуральне число єдиним, з точністю до порядку співмножників, чином представляється у виді добутку ступенів простих чисел.
Найбільшим спільним дільником двох цілих чисел 
і 
називається найбільше ціле число, що ділить як 
так і 
. Позначення: 
або НСД 
. Якщо НСД 
, то числа 
і 
називаються взаємно простими.
Найменшим спільним кратним натуральних чисел 
і 
називається найменше натуральне число, НОК 
, що ділиться як на 
так і на 
.
Очевидно, НОК 
.
Алгоритм Евклида для визначення НСД двох натуральних чисел 
. Основну роль грає операція ділення чисел з остачею, тобто представлення виду 
, 
.
Запишемо числа 
. Знайдемо остачу 
від ділення 
на 
, запишемо її слідом за 
: 
. В отриманому списку розглянемо останні два числа.
Знайдемо остачу 
від ділення першого з них на друге: 
, допишемо 
в список: 
. Діємо далі аналогічно, поки вперше (на 
-ому кроці) не виникне ситуація, коли 
. Тоді 
.
13. Розширений алгоритм Евклида.
Цей алгоритм призначений для пошуку лінійного представлення НСД, тобто цілочислового розв’язку 
, 
рівняння 
, 
> 
, 
, де 
і 
також цілі.
Протокол роботи розширеного алгоритму Евкліда зручно записувати у вигляді таблиці:
Остачі 
| 
| 
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
Частки 
| 
| 
| 
| … | 
| 
| ||
| 
| 
| … | 
| 
| |||
| … | 
| 
|
Отримання нових значень компонент 
наборів 
показано в третьому рядку таблиці (клітинки виділені): з числа в першій клітинці віднімається число в другій клітинці, помножене на число, що стоїть справа від нього в другому рядку, результат записується в третю клітинку. Аналогічно виконуються операції для знаходження компонент 
у четвертому рядку.
14. Прості числа і основна теорема арифметики.
Натуральне число 
називається простим, якщо воно не має додатних дільників, відмінних від 1 і 
. Всі інші числа називаються складеними.
Теорема (основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число 
або є простим числом, або його можна записати, причому єдиним чином (з точністю до порядку множників), у вигляді добутку простих чисел.
Канонічним розкладом (канонічною формою) складеного натурального числа 
називається представлення його у вигляді 
. ). Процес подання цілого числа 
у такому вигляді називають також факторизацією числа 
. Якщо ж враховуються нульові показники степенів то такий розклад називається узагальненим канонічним розкладом.
Наслідок з основної теореми арифметики. Нехай 
і 
– довільні натуральні числа, і нехай
, 
– їх узагальнені канонічні розклади (
, 
). Тоді найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел 
і 
відповідно мають вигляд:
, де 
,
, де 
.
15. Многочлени над полями.
Многочлен над полем 
- це функція виду 
, де 
, 
. Ціле число 
називається степенем многочлена і позначається 
.
Аналогічно визначається многочлен над комутативним кільцем. Множина 
усіх многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем 
також є кільцем.
Якщо 
, по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Многочлен 
називається дільником многочлена 
, якщо існує многочлен 
, такий, що 
, 
.
Спільним дільником двох многочленів називається многочлен, що ділить обидва зазначені многочлени.
Тому дільники многочленів визначаються з точністю до константи.
Найбільшим спільним дільником 
двох многочленів 
називається многочлен 
, такий, що для будь-який загальний дільник 
многочленів 
і 
ділить 
.
Звичайно, в якості 
вибирається нормований многочлен.
Визначення. Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться тільки на константи і сам на себе.
16. Алгоритм Евкліда для многочленів.
Операція ділення з остачею відповідає запису виду 
, 
. Якщо вперше на 
-ому кроці виявляється, що 
, процес обчислення остач від ділення зупиняється і 
.
17. Означення і властивості конгруенцій.
Кожне ціле число 
можна розділити з остачею на натуральне число 
: 
, 
.
Остача від ділення числа на 
називається лишком ( у даному випадку – лишком числа 
за модулем 
). Операція, що співставляє числу 
його лишок за модулем 
, називається з веденням 
за модулем 
.
