Цикл с изохорным подводом теплоты, изобарным расширеним и политропным сжатием

 

Выполним расчёт и анализ указанного цикла на примере решения следующей задачи.

Задача.

1 кг воздуха, находящегося при температуре минус 10,3 °С и разрежении 50 мм рт. ст., изохорно нагревается до манометрического давления 1,0 кгс/см², а затем изобарно расширяется до такого объёма, чтобы политропно возвратиться в начальное состояние. Показатель политропы п = –1,3. Атмосферное давление 100,5 кПа.

Определить параметры воздуха в характерных точках цикла, а также степень его термодинамического совершенства. Изобразить цикл, образованный указанными процессами, на термических и тепловой диаграммах.

Решение

Термические параметры рабочего тела (воздуха) в характерных точках цикала:

 

Точка 1

- давление

 

,

 

так как 750 мм рт. ст. = 1 бар

- температура

- удельный объем ,

 

где – удельная газовая постоянная воздуха.

 

Точка 2

- давление

 

,

 

так как 1 кг/см² = 98066,5 Па;

 

- удельный объем

, (по условию задачи процесс 1-2 изохорный);

 

- температура

 

® .

 

Точка 3

- давление (по условию процесс 2-3 изобарный) ;

- удельный объем (процесс 3-1 политропный).

 

® ;

 

Рис.1.3. Изображения заданного цикла на термических

и тепловой диаграммах:

1-2 – изохорный подвод теплоты; 2-3 – изобарное расширение;

3-1 – политропное сжатие

- температура

.

 

Результаты расчетов записываем в таблицу

 

Точки	р, МПа	v, м3/кг	Т, К
	0,09383	0,8042	262,85
	0,19857	0,8042	556,25
	0,19857	1,4317	990,19

 

Отводимая в цикле теплота

 

,

 

где изохорная теплоёмкость с_v по упрощенной МКТ для воздуха, как двухатомного газа, рассчитывается из соотношения

 

.

 

Подводимая в цикле теплота

 

где изобарная теплоёмкость с_р в соответствии с МКТ равна

 

.

 

Термический КПД рассматриваемого цикла

 

.

 

Термический КПД предельного цикла Карно

 

Степень совершенства рассчитанного цикла

 

 

Итак, рассмотренный термодинамический цикл значительно уступает по эффективности соответствующему предельному циклу Карно. Это обусловлено тем, что количества подводимой и отводимой теплоты в цикле близки.

 

1.4. Цикл с адиабатным сжатием, изохорным подводом теплоты, изобарным и политропным расширением

Выполним исследование заданной совокупности процессов на примере решения следующей задачи.

Задача

1 нм³ метана адиабатно сжимается до 1/5 первоначального объема, затем изохорно нагревается при подводе 200 кДжтеплоты, затем изобарно расширяется с подводом 100 кДж теплоты, наконец, политропно возвращается в начальное состояние.

Изобразить цикл на термических и тепловой диаграммах. Определить параметры газа в характерных точках образовавшегося цикла и его степень совершенства. Начальные параметры рабочего тела р ₁= 1 бар, t ₁ = 100 °С.

Решение

Прежде всего, изобразим цикл на диаграммах состояния (рис.1.4).

Затем рассчитываем:

- удельную газовую постоянную метана (СН₄)

 

;

 

- удельный объем метана в точке 1

 

;

 

- параметры метана в точке 2 (процесс 1-2 – адиабатный):

удельный объём ;

температура ;

давление ,

где k = 1,33 – показатель адиабаты для газов, молекулы которых содержат три и большее количество атомов.

 

 

Рис. 1.4. Изображения исследуемого цикла на термических

и тепловой диаграммах:

1-2 – адиабатное сжатие; 2-3 – изохорный подвод теплоты;

3-4 – изобарный подвод теплоты; 4-1 – политропный отвод теплоты

Для дальнейших расчетов необходимо определить массу одного нм³ метана из уравнения состояния идеального газа

 

При определении параметров точки 3 используем заданное значение теплоты, подводимой в процессе. Удельная теплота в изохорном процессе 2-3 рассчитывается из соотношения

 

, тогда ,

 

где q_v = Q_v / М = 200/0,7139 = 280,15 кДж/кг – удельная теплота, подводимая в изохорном процессе;

c_v – изохорная теплоёмкость с_v, которая по упрощенной МКТ рассчитывается из соотношения

 

,

 

где j – количество вращательных степеней свободы атомов в молекуле (для трёх- и многоатомных газов j = 3).

В изохорном процессе температура и давление изменяются прямо пропорционально

 

, отсюда .

 

Параметры точки 4 ( процесс 3-4 –изобарный)

 

р₄ = р₃ = 1,0912 МПа.

Удельная теплота в изобарном процессе рассчитывается из соотношения

 

,

 

отсюда ,

где q_p = Q_p/М = 100/0,7139 = 140,08 кДж/кг – удельная теплота, подводимая в изобарном процессе (см. условие задачи),

c_p – изобарная теплоёмкость метана, рассчитываемая из соотношения

 

.

 

В изобарном процессе температура и удельный объём изменяются прямо пропорционально

 

, отсюда .

 

Результаты расчетов записываем в таблицу

 

Точки	р, МПа	v, м3/кг	Т, К
	0,1	1,9390	373,15
	0,8504	0,3878	634,66
	1,0912	0,3878	814,37
	1,0912	0,4199	881,76

 

Критерием точности выполненных расчётов является равенство суммы работΣ l, рассчитанных через параметры p и v и суммы теплот Σ q, рассчитанных через Т, с_р и с_v для всех процессов, образующих цикл.

Рассчитываем значения деформационной работы во всех термодинамических процессах, образующих исследуемый цикл:

– работа в адиабатном процессе сжатия 1-2

 

– работа в изохорном процессе 2-3 ;

– работа расширения в изобарном процессе 3-4

 

;

 

– работа в политропном процессе расширения 4-1

 

,

 

где п – показатель политропы расширения, рассчитанный из соотношения

 

, отсюда .

 

Далее рассчитываем значения теплоты в процессах, образующих цикл:

– в адиабатном процессе сжатия 1-2 ;

– в изохорном процессе 2-3 ( см. стр.19 ) ;

– в изобарном процессе 3-4 (стр.20) ;

– в политропном процессе 4-1

 

.

 

Результаты расчетов сводим в следующую таблицу:

 

Процессы	Деформационная работа l, кДж/кг	Теплота q, кДж/кг
1-2 – адиабатный	–411,78	0.
2-3 – изохорный	0.	280,15
3-4 – изобарный	34,05	140,08
4-1 – политропный	470,19	–327,39
Сумма	92,46	92,84

Из таблицы видно, что сумма работ отличается от суммы теплот на 0,38 кДж/кг, то есть на 0,41 %. Это свидетельствует об удовлетворительной точности расчетов.

Термический КПД исследуемого цикла

 

,

 

где q ₁ = q _2-3 + q _3-4 = 280,15 + 140,08 = 420,23 кДж/кг – теплота, подводимая в цикле.

Термический КПД предельного цикла Карно

 

.

 

Степень совершенства рассматриваемого цикла

 

.

 

Следовательно, эффективность заданного цикла ниже эффективности соответствующего предельного цикла Карно почти на 62 %.