РАЗДЕЛ 6. Физика атомов и атомного ядра. Элементарные частицы. Основы квантовой механики. Физика твердого тела

 

Основные формулы

 

Боровская теория атома водорода. Рентгеновские лучи

 

1. Момент импульса электрона

L = m V_nr_n= n,

где m – масса электрона; V_n – скорость электрона на n -й орбите; r_n – радиус
n -й орбиты; h – постоянная Планка (h = 6,626176 × 10^–34 Дж × с); n – главное квантовое число (n = 0, 1, 2,…).

 

2. Радиус боровской орбиты

r_n = a₀ n²,

где a₀ = 52,9 пм – радиус первой боровской орбиты.

3. Энергия электрона в атоме водорода

E_n= –E_i/n²,

где E_i = 13,6 эВ – энергия ионизации водорода.

4. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода

ε = E_n – E_k = E_i(1/k² – 1/n²),

где n и k – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

5. Частота, соответствующая линиям водородного спектра,

ν = с/λ = R c (1/k² – 1/n²),

где с – скорость света в пустоте; R – постоянная Ридберга (R = 1,097 × 10⁷ м^–1); k и n – номера орбит.

6. Частота для водородоподобных ионов

ν = с/λ = R c Z²(1/k² - 1/n²),

где Z – порядковый номер элемента.

7. Формула Мозли (частота рентгеновских характеристических лучей)

ν = с/λ = R c (Z – b)² (1/k² – 1/n²),

где Z – порядковый номер элемента, из которого сделан антикатод; b – «постоянная экранирования».

 

Волновые свойства частиц

 

8. Длина волны де Бройля

λ = h / p,

где h – постоянная Планка; р – импульс частицы.

9. Импульс частицы:

а) в нерелятивистском случае

р = m₀ V;

б) в релятивистском случае

,

где m – релятивистская масса; V – скорость частицы; m₀ – масса покоя частицы; с – скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме.

10. Связь импульса частицы с кинетической энергией Т:

а) в нерелятивистском случае

р = (2 m Т)^0.5;

б) в релятивистском случае

р = с^–1 [(2 Е₀ + Т)Т]^0.5,

где Е₀ = m₀ с² – энергия покоя частицы.

11. Соотношение неопределенностей:

а) для координаты и импульса

Δр_х Δх ≥ ħ,

где Δр_х – неопределенность проекции импульса на ось х; Δх – неопределенность координаты; ħ = h / 2p – постоянная Планка, ħ = 1.05 × 10^–34 Дж × с.

б) для энергии и времени

ΔΕ Δt ≥ ħ,

где ΔΕ – неопределенность энергии; Δt – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

12. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

где m – масса частицы; Е – полная энергия; U = U (х) – потенциальная энергия частицы; ψ (х) – волновая функция, описывающая состояние частицы.

13. Плотность вероятности:

где dω (х) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dх.

14. Вероятность обнаружения частицы в интервале значений от х₁ до х₂:

15. Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

 

 

а) собственная нормированная волновая функция

б) собственное значение энергии

где n – квантовое число (n = 1, 2, 3, …); l – ширина ящика.

В области 0 ≤ x ≤ l

U = ∞ и ψ(x) = 0.