Если в выражении для восстанавливающей силы (см. рис. 2) учесть член второй степени в х, то уравнение движения принимает вид
х11 + ω02х = αх2 (90)
Это линейное уравнение называется уравнением ангармонического (нелинейного) осциллятора. Его можно решать методом разложения по малому параметру, каковым может быть начальное смещение или начальная скорость. Решение ищем в виде х = х1 + х2, где х1 и х2 находим из уравнений
х1 11 + ω02х1 = 0, х2 11 + ω02х2 = αх1 2.
Решением первого уравнения при нулевой начальной скорости и начальном смещении a будет функция x1 = a cos ω0t, в которой величину a будем считать малым параметром. Подставляя x1 во второе уравнение, решаем получившееся неоднородное уравнение для функции x2 (t), которая уточняет решение x1 (t) появлением колебания удвоенной частоты 2 ω0.
Рис. 22. Резонансные кривые для резонанса смещений, скоростей и ускорений. Фазовые соотношения
Модулированные колебания
Если на осциллятор воздействует негармоническая периодическая сила, то, разложив ее в ряд Фурье, определяем реакцию осциллятора на каждую Фурье-компоненту (гармонику), а затем производим сложение всех полученных реакций. В результате
x(t) = 
cos(ωi t - jI). (91)
Это допустимо в силу линейности исходного дифференциального уравнения колебаний.
Сигнал, поступающий на осциллятор, может быть промодулирован по амплитуде, т.е. вынуждающее воздействие имеет вид
x = А cos(ωt - j),
где, в свою очередь, амплитуда А изменяется также по гармоническому закону, но с меньшей частотой n:
А = а(1 + к cosn t). (92)
Данное сложное колебание разложимо на три гармоники с центральной несущей частотой ω, и с боковыми суммарной ω + n,и разностной ω - n частотами, причем амплитуды боковых частот одинаковы. Множитель к – параметр, характеризующий глубину модуляции, на амплитуду несущей гармоники не влияет. В результате усиления этих трех компонент при их взаимодействии с осциллятором изменяются их амплитуды и фазы. В результате на выходе мы будем иметь искаженный суммарный сигнал. Степень искажения модулированного сигнала после усиления тем больше, чем острее резонансная кривая осциллятора. Таким образом, мы имеем техническое противоречие: для получения больших коэффициентов усиления необходима острая резонансная кривая, а для минимальных искажений сигнала в процессе усиления необходимо сохранение пропорций хотя бы между амплитудами, т.е. широкая резонансная кривая с мальм усилением. На практике ищется компромисс между этими требованиями.
Дальнейший анализ данной задачи такой же, как и для гармонического воздействия на осциллятор.
Рассмотренная задача замечательна еще в одном отношении. В ней рассмотрены колебания, которые совершаются не по гармоническому закону. Однако, если фаза меняется гораздо быстрее, чем амплитуда, то они будут «почти гармоническими». Обобщая, любое выражение вида x(t) = A(ω1t) cos (ω2t), где ω1 << ω2, может рассматриваться как приблизительно гармоническое. Можно дать еще одно определение амплитуды негармонических колебаний: амплитуда – это выражение, стоящее перед гармонической функцией и медленно меняющееся со временем по сравнению с фазой.
