Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке

В пояснительной записке следует изложить теоретический материал по рассматриваемому типу колебаний, разобрать типовые задачи. Затем на основе задач из сборника И.Е.Иродова «Задачи по общей физике» или проделанного эксперимента выбрать параметры и в расчетной части построить требуемые графики.

Вначале дадим вводные замечания для повторения школьного курса физики по разделу колебаний, а затем рассмотрим более сложный материал.

В физике, в технике, в природных и социальных явлениях часто происходят такие процессы, когда ускорение (скорость изменения скорости) определенной характеристики процесса (физической величины) пропорциональна значению этой величины и направлена против ее изменения (например, в данный момент времени). Такая общность явлений находит свое отражение в едином математическом аппарате их описания. Все эти процессы описываются одним дифференциальным уравнением, решением которого является функциональные зависимости, основным свойством которых является периодичность, повторяемость.

Ввиду того, что в технической литературе в различных пособиях и используются различные обозначения величин и термины, характеризующие колебательные процессы, дадим кратко основные определения и понятия на основе принятых базовых учебников. В работе следует использовать именно эти обозначения, понятия, определения.

В природе часто наблюдается такое движение, когда тело, перемещаясь по замкнутой траектории, возвращается в исходное положение через равные промежутки времени. Такое движение называется периодическим, а промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется его периодом Т. Величина, обратная периоду, называется частотой. Частота f = 1/Т показывает, сколько раз в секунду повторяется движение. Единица измерения частоты, соответствующая периоду Т = 1с, называется герцем (Гц): 1Гц = 1с^-1

Существует, очевидно, бесчисленное множество различных видов периодического движения. Мы будем рассматривать простейший случай периодического движения материальной точки вдоль определенной кривой: в этом случае говорят, что частица совершает одномерное движение, т.е. она обладает одной степенью свободы. Для задания положения частицы в таком случае достаточно всего одной координаты; в качестве таковой можно выбрать, например, расстояние вдоль кривой от некоторой точки, используемой в качестве начала отсчета. Обозначим эту координату буквой х. Силы, действующие на частицу, в этом случае будут зависеть от этой единственной координаты.

Гармонические колебания

Поскольку простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус (их период равен 2π), то простейшим одномерным периодическим движением будет такое движение материальной точки, при котором ее координата х изменяется по закону

x(t) = A cos(ω₀t + α), x(t) = A sin(ω₀t + α₁), (1)

 

где А, ω₀, α, α₁ – некоторые постоянные величины.

Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным движением, а частица (материальная точка), совершающая гармонические колебания, - гармоническим осциллятором. Термины «маятник», «осциллятор», «колебательная система» будем считать тождественными.

Величины А и ω₀ имеют простой физический смысл. Так как период косинуса и синуса равен 2π, то период движения Т (период колебаний) связан с ω₀ соотношением

T = 2π/ω₀. (2)

Это соотношение легко получить из условия, что частица в моменты времени t и (t + T) имеет одинаковые координаты

х (t) = (t + T). (3)

Из (3) и (1) вытекает, что

ω₀ = 2π/T = 2π ν. (4)

Величину ω₀ называют циклической (круговой) частотой. Единица измерения циклической частоты - радиан в секунду (рад/c), ν – частота колебания, измеряемая в герцах (Гц).

Максимальное значение координаты х называется амплитудой колебания. Так как максимальное значение косинуса и синуса любого переменного аргумента равно единице, то максимальное значение координаты х при гармонических колебаниях равно А (рис. 1)

Аргумент косинуса или синуса в (1)

 

φ (t) = ω₀t + α (5)

называют фазой колебаний. Из (5) следует, что при t = 0

α = φ, (6)

 

поэтому постоянную величину α называют начальной фазой.

Из (1) (мы будем везде в дальнейшем преимущественно использовать первую формулу для х(t)). Легко найти скорость частицы, совершающей гармонические колебания. Взяв производную по времени от первого выражения из (1), получим

 

v_x = dx/dt = -A ω₀ sin (ω₀t + α) = A ω₀ cos(ω₀t + α + π/2). (7)

 

Как видим, при гармонических колебаниях скорость частицы изменяется также по гармоническому закону, но изменение скорости ”опережает по фазе ” изменение координаты на величину ¹/₂ π. Иначе говоря, разность фаз колебаний скорости и координаты равна ¹/₂ π. При этом в те моменты времени, когда координата x достигает экстремальных значений ± А, скорость частицы обращается в нуль, и наоборот. Максимальное по модулю значение скорости (ее амплитуда) равно

v_max = A ω₀. (8)

Выясним, какова должна быть результирующая сила F_x = действующая на частицу, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого ускорение частицы при таком движении. Продифференцировав (7) по времени, получим

 

a_x = = - A ω² ₀ cos(ω₀t + α), (9)

или с учетом фазы относительно (1)

 

a_x = - ω₀ ²x = A ω² ₀ cos(ω₀t + α + π). (10)

 

Если учесть второе выражение в (1), то получим результаты, представленные в табл. 1.

 

 

Таблица 1

Описание кинематических характеристик колебаний

 

1. x(t) = A sin (ω t + φ) 1. 2. v = x'(t) = ω A cos(ω t + φ) 2. 3. a = v'(t) = - ω2 A sin (ω t +φ)	1. x(t) =A cos(ω t + φ) 2. v = x'(t) = - ω A sin(ω t + φ) 3. a = v'(t) = - ω2 A cos(ωt + φ)
φ = 0
4. x(t) = A sin ∙ ω t 5. v = ω A cos ω t = ω A sin (ω t + ) = ω A(sin ω t · cos + cos ω t · sin ) = ω A cos ω t 6. a = - ω2 A sin ω t = ω2 A sin(ω t + π)	4. x(t) = A cos ω t 5. v = - ω A sin ω t = ω A· cos(ω t + ) = ω A(cos ω t · cos -sin ω t · sin ) = - ω A× ×sin ω t 6. a = - ω2 A cos ω t = ω2 A × cos (ω t + π)
7. tg φ = ; A2 =	7. tg φ = - ; A2 =
8. A cos ω t + B sin ω t = cos(ω t – δ)
cos δ =	sin δ =
9. A cos ω t + B sin ω t = sin(ω t + δ)
sin δ =	cos δ =

 

Из (10) видно, что ускорение изменяется со временем по такому же закону, что и координата частицы, но фаза колебаний ускорения отличается от фазы координаты на π. Наибольшее по модулю значение ускорения (его амплитуда)

a_max = A ω₀². (11)

 

Из второго закона Ньютона для движения частицы массой m

m = = ,

записанного в проекции на направление движения частицы с учетом (10) получим

ma_х = F_x, F_x = -m ω₀ ²x. (12)

 

Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания, действующая на нее результирующая сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому смещению. Такую силу называют восстанавливающей (или возвращающей).

Зависимость силы от положения частицы в виде (12) встречается в физических задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении устойчивого равновесия (пусть это будет точка x = 0), то в этом положении = = 0, а при этом смещении тела из этого положения в ту или другую сторону возникает отличная от нуля результирующая сила , действующая на тело и стремящаяся вернуть его в положение равновесия. При этом график зависимости F_x (x) будет иметь вид некоторой кривой: в точке x = 0 сила F_x = 0, а по обе стороны от этой точки она имеет противоположные знаки (рис. 2).

В общем случае зависимость возвращающей силы от x не является линейной. Это означает, что хотя тело и будет совершать колебания около положения равновесия, но колебания не будут гармоническими. Однако при небольших смещениях тела из положения равновесия отрезок кривой F_x вблизи x = 0 можно всегда приближенно заменить отрезком прямой линии так, что сила F_x окажется пропорциональной величине отклонения x, и колебания тела будут гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если сила связана со смещением по линейному закону

F_x = - kx (13)

 

(где k – некоторый коэффициент, определяемый свойствами рассматриваемой системы, называемый коэффициентом восстанавливающей (возвращающей) силы), то из сравнения (13) с выражением для силы при гармонических колебаниях (12) следует, что

 

k = m ω²₀ (14)

 

и циклическая частота гармонических колебаний

ω₀ = , (15)

а период колебаний T = = 2π . (16)

Как видим, частота и период колебаний зависят только от свойств системы (жесткости закрепления тела около положения

Рис.1. Простое гармоническое колебание. А – амплитуда, Т - период

 

Рис.2. Один из вариантов нелинейной зависимости силы от смещения

 

 

U(0) = 0 x

 

Рис.3. Смещение, возвращающая сила и начало отсчета потенциальной энергии

 

равновесия и от его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разной амплитудой, совершает их с одинаковой чистотой. Это очень важное свойство гармонических колебаний. Напротив, амплитуда колебаний А и начальная фаза α определяются не только свойствами колеблющейся системы, но и начальными условиями ее движения, т.е. начальным смещением из положения равновесия x₀ = х(t = 0) и скоростью υ₀= υ(t = 0). Из (1) и (7), получим

(17)

Решив систему уравнений (17) относительно А и α, находим

A = , α = - arctg . (18)

Заметим, что однозначное определение угла α (определение четверти, в которой он находится) производится с учетом (17)

Если систему каким-либо образом заставили совершать колебания (например, сместив из положения равновесия на х₀ или сообщив начальную скорость v₀) и предоставили самой себе, то возникающие колебания называют собственными колебаниями, а частоту колебаний – собственной частотой.

Используя выражение для возвращающей силы (13), нетрудно найти потенциальную энергию колеблющейся частицы. Будем считать, что потенциальная энергия U (x) равна нулю в положении равновесия x = 0 (нулевой уровень потенциальной энергии (рис. 3)). По определению потенциальной энергии она равна работе силы F (x) при перемещении частицы из смещенного положения x на нулевой уровень

U_x = A (F) (19)

Поскольку сила F (x) направлена к положению равновесия и линейно зависит от x, то ее работа при таком смещении будет положительной и равной

A = <F> (x – 0) = x = . (20)

Следовательно, потенциальная энергия гармонического осциллятора

U = , (21)

или, учитывая (15)

U = . (22)

 

Кинетическая энергия осциллятора

T = (23)

Подставив (2) и (3) в (23) и (24), получим

U = cos² (ω₀ t + α) = (1 + cos 2(ω₀ t + α)) (24)

T = sin² (ω₀ t + α) = (1 - cos 2(ω₀ t + α)) (25)

т.е. и потенциальная, и кинетическая энергии частицы в процессе колебания изменяются со временем, причем таким образом, что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается. Колебания энергий происходят с удвоенной частотой колебаний осциллятора. Полная же энергия гармонического осциллятора

E = T + U = = const (26)

остается все время постоянной и равной максимальной кинетической энергии

T_max = (27)

или, что то же самое, максимальной потенциальной энергии

U_max = (28)

Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние же (за период колебаний) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и каждое из них равно 0,5E:

< T > = < U > = 0,5E. (29)

Математический маятник

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим малые колебания математического маятника - материальной точки массой m, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длинной l в поле тяжести Земли. Когда маятник висит вертикально, сумма сил действующих на частицу (силы тяжести, действующая со стороны Земли, mg, и силы натяжения нити )

= 0 (30)

т.е. частица массы m находится в равновесии.

Сместим частицу m из положения равновесия по дуге окружности радиуса l на величину

α = l θ, (31)

где θ – угол отклонения нити (в радианах) (рис.4а). При этом сила тяжести останется без изменений, в то время как сила натяжения нити изменяется не только по направлению, но и по величине, в итоге результирующая сила , действующая на частицу, станет отличной от нуля и будет направлена к положению равновесия (т.е. эта сила возвращающая, восстанавливающая, а положение равновесия устойчивое). Из рис. 4а видно, что

 

F_x = - mg sin θ (32)

или, используя (31),

F_x = - mg sin (x/l) (33)

Из (33) следует, что возвращающая сила F_x зависит от x по нелинейному закону. Следовательно, колебания математического маятника в общем случае не являются гармоническими. Однако, в случае малых колебаний, когда выполняется условие x << l, отношение x/l << 1 и и sin (x/l) tg (x/l) x/l. Поэтому при малых колебаниях возвращающая сила

F_x = - mg (34)

линейно зависит от x, причем коэффициент возвращающей силы

k = . (35)

Таким образом, при малых смещениях от положения равновесия математический маятник колеблется по гармоническому закону

x(t) = A cos(ω₀t + α)

 

с частотой

ω₀ = = (36)

и периодом

T = = 2π . (37)

Отметим, что длина маятника с периодом колебаний T₀ = 1 с (для стандартного значения ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли g₀ = 9,81 м/с²) равна 24,8 см.

Если маятник находится в глубокой шахте на глубине h или на вершине горы высотой h (не на борту спутника), то его период колебаний будет определяться ускорением свободного падения в месте нахождения маятника. Если не учитывать вращение Земли и воспользоваться выражениями для g в шахте на глубине h, то получим, что на этой глубине

 

T = 2π (38)

 

(где T₀ – его период колебаний на поверхности Земли и R₃ – радиус Земли), а на высоте h

 

T = 2π > Т₀ . (39)

 

Отметим, что в случае, когда глубина шахты h << R₃, стоящий в (38) сомножитель 1/ можно приближенно заменить на (1 + h/2R₃). В этом случае период колебаний маятника

 

T T₀ (40)

 

Рассмотрим теперь вопрос о том, как изменяется колебательное движение математического маятника, если на материальную точку, кроме силы тяжести, действует еще постоянная внешняя си

Рис.4а. Математический маятник и действующие на него силы

 

Рис.4б. Математический маятник под действием сторонней силы

 

ла (например, сила Архимеда, когда маятник движется в жид- кости).

В положении равновесия равнодействующая всех сил, действующих на частицу

 

= 0 (41)

 

Из (41), в частности, следует, что в положении равновесия векторы (вертикаль), (нить) и лежат в одной плоскости.

Соотношение (41) можно записать в виде

 

(42)

где

(43)

т.е. в этом случае нить маятника в положении равновесия не вертикальна, а расположена вдоль вектора . Обратим внимание, что условие равновесия (42) формально совпадает с (30) с той лишь разницей, что в (30) стоит , а в (42) - . Поэтому, все формулы, написанные после (30) и относящиеся к выражению периода колебания математического маятника, остаются в силе и в нашем случае, если в них заменить , на . Таким образом, при действии на маятник постоянной силы он будет совершать малые гармонические колебания около положения равновесия, в котором нить расположена вдоль вектора , с частотой

ω₀ = (44)

и периодом

T = 2π , (45)

где

g_эфф = (46)

- абсолютное значение (модуль) вектора .

Полученные выше результаты можно использовать при рассмотрении задачи о гармонических колебаниях математического маятника, когда его точка подвеса движется относительно Земли с постоянным ускорением . Для этого перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с точкой подвеса. Как известно, закон движения материальной точки (второй закон Ньютона) в неинерциальной системе отсчета совпадает с законом движения ее в инерциальной системе отсчета, если считать, что на эту точку, кроме реальных сил, действует также фиктивная сила инерции . На основании этого можно заключить, что в случае, когда точка подвеса математического маятника движется с постоянным ускорением , маятник может совершать малые гармонические колебания около положения устойчивого равновесия, в котором нить маятника расположена вдоль вектора

= (47)

с частотой (44) и периодом (45), где

g_эфф = .

 

Задача 1. Самолет стартует под углом α к горизонту с ускорением а (рис.5). Найти частоту малых колебаний математического маятника длины l,подвешенного в самолете.

Решение

Найдем эквивалентное ускорение g^¢ обусловленное инерционными силами и силой тяжести (рис. 5). Из чертежа, используя теорему косинусов, имеем:

(g^¢')² = а² + g² + 2аg sin α. (48)

 

Далее используем соотношение ω² = g¹ /l.

 

 

 

Рис. 5. Векторы сил и ускорений (к задаче 1)

Пружинный маятник

В качестве другого примера гармонического осциллятора рассмотрим пружинный маятник – материальную точку массой m, прикрепленную к одному концу идеальной невесомой пружины жесткостью к, другой конец которой закреплен. Длина пружины в нерастянутом положении равна .

Пусть на материальную точку массой m действует, кроме силы упругости пружины , постоянные силы , , …, не зависящие от удлинения пружины, ни от кинематических характеристик движения материальной точки (например, ее скорости). В положении равновесия

= ,

т.е. пружина будет расположена вдоль равнодействующей силы и растянута (или сжата) на величину

Δl = . (49)

Если теперь вывести пружину из положения равновесия, растянув или сжав ее на величину x, отсчитываемую от положения равновесия, то равнодействующая сила не изменится, а сила упругости увеличится на величину kx. В результате этого появиться результирующая сила, направленная в сторону положения равновесия (возвращающая сила) и равная

F_x = - kx

Отсюда видно, что возвращающая сила линейно зависит от смещения x, причем коэффициент возвращающей силы равен жесткости пружины

k = к,

а это означает, что пружинный маятник будет совершать гармонические колебания с частотой

ω₀ = (50)

и периодом

T = 2π

около положения равновесия, в котором пружина растянута на величину, определяемую выражением (49).

Обратим внимание, что собственная частота (и период) колебаний пружинного маятника определяется лишь жесткостью пружины и массой маятника и не зависит от внешних сил , , …, действующих на него, от которых зависит лишь растяжение пружины в положении равновесия. Поэтому, где бы ни находился пружинный маятник (в шахте, на вершине горы или на борту спутника) и как бы ни двигалась точка закрепления пружины, его частота и период колебаний будут всегда одними и теми же.

Коэффициент жесткости характеризует пружину в целом и зависит как от свойств материала, из которого она изготовлена, так и от ее геометрических характеристик. Некоторое представление об этих зависимостях можно получить на основании следующей модели. Заменим пружину стержнем длины L и сечения S. Пусть на стержень действует деформирующая (растягивающая или сжимающая) сила F. Она создает в стержне механическое напряжение σ = и удлиняет его на х. Относительное удлинение составляет ε = . Закон Гука представим в виде ε = . Здесь Е – модуль Юнга. Сравнивая с F = kx, получим k = . Жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине.

 

2.1.4. Комбинированные осцилляторы

 

Комбинированный осциллятор - маятник, находящийся под воздействием нескольких сил различной физической природы, обеспечивающих возвращение отклоненного тела к одному и тому же положению устойчивого равновесия. Будем считать, что осциллятор совершает одномерные движения. Поэтому комбинацию математического маятника и пружинного маятника, показанную на рис. 6, рассматривать не будем, поскольку здесь меняются как угол отклонения, так и длина маятника. Это колебания с двумя степенями свободы.

Задача 2. Положительный заряд q сосредоточен на материальной точке массой m, которая подвешена в вакууме на невесомой нерастяжимой непроводящей нити длины l на высоте h над провод-

 

Рис.6. Математический маятник на упругом подвесе

 

ником (электропроводность которого бесконечна), занимающим нижнее полупространство. Граница раздела вакуума и металла – плоскость. Материальную точку отклоняют на малый угол от положения устойчивого равновесия. Найти собственную частоту колебаний такого комбинированного осциллятора.

 

Рис.7. Заряженная материальная точка, колеблющаяся над проводящим полупространством.

 

AB = BC = h; AD = Δh; l = ç ç- длина нити; - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку Р.

 

Решение

На точку действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила электростатического (кулоновского) взаимодействия (рис. 7).

Рассмотрим подробнее силу кулоновского взаимодействия F_k.

Заряд +q перераспределяет свободные электроны проводника. В результате на поверхности раздела появляется отрицательный заряд по величине равный заряду q. Между исходным зарядом и наведенными зарядами возникает электростатическое взаимодействие. При колебаниях поверхностные заряды будут перемещаться, возникнут токи, что приведет к выделению джоулева тепла и магнитному взаимодействию. Однако, в хорошем металлическом проводнике (с бесконечной электропроводностью) при малых скоростях движения зарядов этими явлениями можно пренебречь.

Величину и направление кулоновской силы можно найти из сравнения картины силовых линий электрического диполя и картины силовых линий заряда, подвешенного над идеальным проводником. Силовые линии входят в проводник под прямым углом и их густота тем больше, чем ближе точка на поверхности проводника к точке B, лежащей на оси симметрии картины. Таким образом, картина силовых линий для рассматриваемого случая аналогична картине силовых линий диполя с расстоянием между положительным и отрицательным точечными зарядами равным 2h. Тогда F_k = для оси симметрии. Это поле неоднородно, но для малых колебаний момент кулоновской силы, как и момент силы тяжести можно считать пропорциональным углу α.

При отклонении нити на угол α материальная точка поднимается на высоту Δh = l(1 – cos α). Это приводит к изменению величины силы F_k:

F_k = .

 

Однако, при малых колебаниях, когда

 

<< 1 т.е. << 1

силу кулоновского взаимодействия заданного заряда и наведенных поверхностных зарядов можно считать неизменной.

Момент инерции материальной точки (относительно оси вращения О параллельной поверхности идеального проводника) J₀ = ml², l – длина нити. Момент сил, действующих на материальную точку

N = (mg + F_k)lsinα. (51)

 

Здесь PD = l sinα - плечо действующих сил.

Связь между векторами скорости, угловой скорости и вектором направленным от центра вращения по радиусу к материальной точке задается соотношением:

= [ , ]

Если скорость материальной точки направлена влево, то угловая скорость и момент импульса = J₀ направлены против момента сил . Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения (уравнение моментов) запишется в виде

J₀α" = - (mg + F_k) lsinα, (52)

где α" = ε = угловое ускорение.

Тогда из (52) для sin α ≈α получаем

α" + l α = 0

В соответствии со стандартными обозначениями ω₀² = , где ω₀ собственная частота. Если бы заряда на материальной точке не было, то ω₀₁² = mg/J₀. Если бы можно было «отключить» силу тяжести, то ω₀₂² = F_k/J₀. Поэтому мы можем записать ω₀² = ω₀₁² + ω₀₂². Если бы возвращающий момент обеспечивали n сил различной физической природы, то

ω₀² = . (53)

Разумеется, это соотношение верно только для малых колебаний.