Скоростей и ускорений
Анализ вынужденных колебаний проводим на основе уравнения (62) для смещения, приведя его к стандартному виду
х11 + 2βх1 + ω02х = f (t), (85)
где f (t) – вынуждающая сила, действующая на единичную массу. Если f (t) = f0 cosωt, то решение в виде установившихся колебаний задается соотношением (63):
x = a cos(ωt - j),
где
a = f0/(
) (86)
– амплитуда колебаний, сдвиг фаз между установившимися колебаниями и вынуждающей силой задается соотношением
tg j = 2βω/(ω02 – ω2). (87)
Для амплитуд скоростей и ускорений соответственно имеем:
V (ω) = ω f0/(),
A (ω) = ω2 f0/(). (88)
Важной характерной чертой вынужденных колебаний, кроме переходного процесса (рис. 22), является наличие резонанса смещений, скоростей и ускорений, в зависимости от того, частотная характеристика амплитуды и фазы какой из этих величин рассматривается.
Приведем важнейшие результаты изучения резонансных кривых А(ω), V(ω), A(ω) в таблице 2.
Таблица 2
Характерные точки резонансных кривых
| Резонанс смещений А(ω) | Резонанс скоростей V(ω) = ω А(ω) | Резонанс ускорений A(ω) = ω2 А(ω) | |
| Резонансная частота | ωрА = 
| ωрV = ω0 |  = 
|
| Амплитуда в резонансе | А(ωрА) = 
| V(ωрV) = 
| A () = 
|
Поведение на низких частотах 
| А(0) = 
| V(0) = 0 | A ( ) = 0
|
Поведение на высоких частотах 
| А ( ) = 0
| V( ) = 0
| A () = 
|
| Сдвиг фаз на резонансной частоте | tg φ(ωрА) = - 
| φ(ωрV) = 
| tg φ() = =
|
| Примечания | β <  ω0
|
Универсальный вид резонансных кривых
Будем исходить из выражения для амплитуды скорости при резонансе
V (ω) = ω f0/().
Учтем, что на резонансной частоте амплитуда скорости равна V(ωр) = f0/2β. Введем относительную амплитуду скорости
Введем добротность Q по формуле Q = 
. Тогда
= 
Преобразуем выражение с учетом того, что для практики важен случай близости w и w0:
Полученную величину назовем относительной расстройкой резонансного контура.
Окончательно имеем
. (89)
Эта элементарная функция хорошо изучена и составлены соответствующие математические таблицы.
Аналогичным образом можно представить и другие резонансные кривые.
Итак, для того, чтобы колебания системы приобрели резонансный характер необходимо:
- чтобы система могла колебаться с частотой (вынуждающей) внешней силы;
- чтобы затухание в системе было мало (β < ω0);
- чтобы частота внешней силы была близка к частоте собственных колебаний системы;
- чтобы переходной процесс закончился (τ > 1/β).
В целом ряде случаев целесообразно избегать резонанса, т.е. погасить колебания.
Для этого необходимо:
- чтобы колебательная система имела собственные частоты далёкие от частоты внешних воздействий и от частот, кратных частоте внешних периодических (но не гармонических) воздействий (см. теорему Фурье);
- в системе должно быть значительное затухание (β > ω0);
- применять демпфирование колебаний.
Рассмотрим последний случай детальнее на простом примере. Пусть имеется материальная точка массой М, подвешенная на пружине жесткостью К. Пусть к этой материальной точке прикреплена пружина жесткости k и к этой пружине материальная точка массой m. Пусть на точку М действует внешняя гармоническая сила
F0 sinωt. Поскольку постоянная сила тяжести только смещает положение устойчивого равновесия, не будем ее учитывать. Уравнение движения массы М имеет вид
MX" = - KX – k(X - x) + F0 sinωt,
а массы m -
mx" = k(X - x).
Здесь k(X - x) – сила, с которой взаимодействует эти массы посредством пружины жесткостью k; Х – смещение массы М от положения равновесия, а х – смещение другой массы от своего положения
равновесия. Так как имеет место установившийся колебательный режим, то решения этих уравнений можно искать в виде
X = A sinωt; x = a sinωt.
Вторые производные этих смещений
X" = -ω2 A sinωt и x" = -ω2 a sinωt.
Подставим это выражение в первое и второе уравнения движения масс соответственно. Получим:
- M ω2 A + KA + k(A - a) - F0 = 0,
- mω2a - k(A - a) = 0.
Из второго выражения сразу имеем:
A = 
a.
Это выражение обращается в нуль, как только ω = ω0 = 
. Из первого выражения при А = 0 имеем а = - F0/k. Таким образом, при А = 0, т.е. при Х = 0 сила, действующая со стороны второго тела на первое имеет вид:
f12 = - k(X - x) = kx = - F0 sinωt = F0 sin(ωt + π),
т.е. она равна по величине и противоположна внешней вынуждающей силе. Поэтому первое тело вообще не колеблется. Имеет место демпфирование колебаний.
