Глава 9
ВОЛНЫ
Понятие волны. Характеристики волн
В предыдущей главе рассматривались колебания отдельных частиц, происходящих под действием возвращающих квазиупругих сил. Если имеется совокупность связанных между собой частиц (наподобие рассмотренных в п.5.8 связанных маятников) и одна из них начинает колебаться, то вслед за ней будут колебаться и остальные частицы. С такой ситуацией приходится встречаться во всех сплошных средах: газах, жидкостях и твердых телах. Вообще, если колебания, возникшие около одной точки пространства, возбуждают колебания около соседней точки, то эти колебания будут распространяться по всему пространству. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Имеется много волн различных типов и природы. Если передача колебаний обусловлена тем, что частицы среды связаны между собой силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при ее колебаниях, то возникающие волны называются упругими волнами. При деформациях среды происходят смещения частиц вещества из положений равновесия; смещения одних частиц вызывают смещения соседних с ними частиц – смещения перемещаются по среде. Так возникает бегущая упругая волна. Упругими волнами являются, например, звуковые волны и волны в натянутых струнах. Другим примером волн являются волны на поверхности жидкости. Огромное значение имеют электромагнитные волны. Эти волны рассматриваются в разделе «Электродинамика». Существенно, что при всем разнообразии процессов, приводящих к возникновению и распространению волн, во всех видах волнового движения имеется много общего. Рассмотрим общие характеристики волн.
Если колебания частиц в волне происходят в направлении ее распространения, то волна называется продольной, если перпендикулярно – поперечной. Следует отметить, что при волновом движении колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной; они лишь колеблются около своих положений равновесия и передают движение другим частицам. Вид волны зависит от упругих свойств среды. В жидкостях и газах силы упругости появляются при деформациях сжатия и растяжения. Эти деформации и распространяются в виде продольной волны. Поперечные волны могут возникать только в твердых телах, где при сдвиге одного слоя относительно другого возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в исходное положение (деформация сдвига). В твердом теле могут существовать и продольные волны.
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые области пространства. Область пространства, уже вовлеченная в волновой процесс, называется волновым полем. Поверхность, отделяющая область пространства, охваченную волновым процессом от области пространства, в которой колебания еще не возникли, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется фазовой, или волновой поверхностью, а линии, перпендикулярные волновым поверхностям – волновыми лучами. При распространении волны фронт волны все время перемещается, волновые же поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковых фазах). Форма фронта волны такая же, как и форма волновой поверхности. Волновая поверхность может иметь различную форму. В простейших случаях они имеют форму плоскости и сферы. Соответственно этому волны называют плоскими и сферическими. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, а в сферической – систему концентрических сфер. Всякую волну, ушедшую на большое расстояние от источника, можно считать сферической, а на очень большое – плоской. При рассмотрении волны на расстояниях, значительно превышающих размеры источника, источник можно считать точечным. Поэтому можно считать, что сферические волны порождаются колебаниями точечного источника.
Распространение колебаний из одной точки пространства в другую происходит не мгновенно, а всегда совершается с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, в которой волна распространяется. Эта скорость называется скоростью распространения волны.
Рассмотрим колебания некоторой величины 
распространяющиеся вдоль одного определенного направления, которое мы примем за ось X. Величиной 
может быть смещение из положения своего равновесия частицы упругой среды, давление в каком-либо месте упругой среды и т.д. Поскольку волновой процесс развивается и в пространстве, и во времени, то в отличие от колебательного процесса, который описывается функцией времени, волновой процесс должен описываться функцией координат и времени. В рассматриваемом случае величина 
будет функцией от координаты x и времени t: 
Пусть в точке 
величина изменяется со временем (колеблется) по некоторому закону 
Тогда в других точках величина будет пробегать те же значения, что и в точке , но с некоторым запаздыванием, которое определяется скоростью v распространения волны и координатой x. Это означает, что колебания величины в точке x будут происходить по тому же закону, что и в точке 
но эти колебания будут отставать от колебаний в точке на время 
равное времени прохождения волной расстояния x: 
Поэтому значение величины в точке x в момент времени 
, т.е. 
будет таким же, как значение в точке 
в более ранний момент времени 
(9.1)
Как видим, величина зависит не от координаты x и времени 
порознь, а от их комбинации 
. Убедимся, что функции такого вида действительно описывают распространяющийся в пространстве процесс. Если за время 
процесс, характеризующийся функцией 
перемещается на расстояние 
то значение функции 
в точке 
в момент времени 
должно быть равно ее значению в точке x в момент времени t. Действительно,
Зафиксируем какое-либо значение аргумента функции (7.1) в момент времени 
т.е. положим 
Тогда 
Это есть уравнение плоскости, перпендикулярной оси X. Поэтому функция (9.1) описывает плоскую волну, и называется формулой плоской волны или просто плоской волной Она описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X. Волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси X, можно получить, если в формуле (9.1) заменить v на – v:
(9.2)
Волновое уравнение
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функции (9.1) и (9.2) удовлетворяют уравнению
(9.3)
или
(9.4)
Уравнения (9.3) и (9.4) называются волновыми уравнениями. Они представляют собой линейные дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных. Этим уравнениям удовлетворяют все плоские волны. Уравнению (9.2) будет удовлетворять не только функции 
но и их сумма
(9.5)
Убедимся в этом. Представим это уравнение в виде
(9.6)
Введем новые переменные
откуда
Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:
В новых переменных, уравнение (9.10) будет иметь вид
(9.7)
Поскольку производная по μ равна нулю, то 
не зависит от этой переменной и, значит, является только некоторой функцией s переменной 
:
Проинтегрируем это уравнение:
Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной 
которую мы обозначим как 
Второе слагаемое – постоянная интегрирования. Она не зависит от 
являясь, значит, функцией только переменной μ.
Мы получили, что решение волнового уравнения (9.7) имеет вид:
Возвращаясь к прежним переменным x и t, будем иметь
что совпадает с выражением (9.5). Функция вида (9.5), таким образом, является общим решением волнового уравнения (9.4). Других решений это уравнение не имеет.
Справедливо и обратное утверждение: если какая-либо физическая величина 
зависит от координат и времени так, что ее частные производные второго порядка по этим переменным удовлетворяют уравнению (9.2), то эта величина распространяется в пространстве в виде плоских волн со скоростью v.
