Общие свойства функции распределения

Теорема. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

 

(F1) она не убывает: если , то ;

 

 

(F2) существуют пределы и ;

 

(F3) она в любой точке непрерывна слева:

 

Доказательство

Доказательство свойства (F1). Для любых чисел событие влечёт событие , т.е. . Но вероятность — монотонная функция событий, поэтому

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры.

 

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции . Остается лишь доказать равенства

, и .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :

Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что при , т.е. . Обозначим через событие . События вложены:

а пересечение этих событий снова пусто — оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, при .

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что при . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:

Зависимость функции распределения от макроскопического состояния

Окружающей среды

Функция распределения равновесной системы параметрически зависит от макроскопического состояния окружающей среды и не зависит от того, с помощью какого микросостояния это макросостояние окружающей среды реализуется.

В данном состоянии термодинамического равновесия, т.е. при данных конкретных значениях внешних термодинамических параметров и температуры, явный вид функции распределения нашей системы вполне определенный. Однако если теперь поместить наше тело в другое состояние термодинамического равновесия, которое определяется другими значениями внешних термодинамических параметров или температуры, то явных вид функции распределения нашей системы изменится.

Задать микроскопическое состояние системы - значит указать все ее координаты и импульсы системы.

Задать макроскопическое состояние системы - значит указать ее макроскопические параметры, такие как давление, температура, объем и т.д.

Параметры называются внешними, если они определяются положением, не входящих в нашу систему внешних тел. Объем системы, величина поверхности определяются расположением внешних тел. Напряжение силового поля зависит от положения источников поля – зарядов и токов, не входящих в систему.
Параметры называются внутренними, если они определяются совокупным движением и распределением в пространстве тел и частиц, входящих в нашу систему. Плотность, давление, энергия – внутренние параметры. Естественно, что величины внутренних параметров зависят от внешних параметров.

Внешниепараметры (объем газа в сосуде) есть функции координат идеализированных источников этих внешних силовых полей. Подчеркну, что по самому своему смыслу внешние параметры не зависят от координат и импульсов самой изучаемой системы.

Под внутренними параметрами (давление газа на стенки сосуда) системы понимают средние значения любых функций координат и импульсов самой этой системы.

 

Температура не относится ни к внешним, ни к внутренним параметрам. Она у нас будет стоять особняком.

В термодинамическом равновесии все внутренние параметры системы являются функцией внешних параметров и температуры. Другими словами, макроскопическое состояние системы, находящейся в равновесии со своим окружением, задается внешними параметрами и температурой.

Договоримся о следующих обозначениях, которые будем везде в дальнейшем использовать Совокупность координат и импульсов изучаемой нами системы мы будем обозначать и . Совокупность координат и импульсов окружающей среды будем обозначать и . Совокупность всех внешних параметров, задающих состояние равновесия нашей системы, будем обозначать буквой . Один- i-ый - внешний параметр будем обозначать (буквой с индексом i).

При рассмотрении системы, находящейся в равновесии с окружающей средой, мы очень-очень сложную точную функцию Гамильтона замкнутой системы, состоящей из изучаемого тела и окружающей среды, заменяем на приближенную, которую представляем в виде суммы эффективной функции Гамильтона нашей системы и эффективной функции Гамильтона окружающей среды. Т.е. мы пишем, что

.

Теплообмен между нашей системой и окружающей средой мы учитываем следующим образом. Мы фиксируем функцию Гамильтона всей замкнутой системы, но при этом мы не фиксируем по отдельности гамильтониан нашей системы и гамильтониан окружающей среды . Этим мы оставляем возможность теплообмена между нашей системой и окружающей средой. В результате мы получаем, что различные значения энергии нашей системы могут реализовываться с различной вероятностью, которая определяется температурой.

Теплообмен — это процесс изменения внутренней энергии без совершения работы над телом или самим телом.
Теплообмен всегда происходит в определенном направлении: от тел с более высокой температурой к телам с более низкой.
Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается.
Теплообмен может осуществляться тремя способами:

1. теплопроводностью
2. конвекцией
3. излучением

4. Микроканоническое распределения Гиббса в классической статистической теории

Рассмотрим ситуацию, когда изучаемая система является адиабатически изолированной от окружающей среды или, иначе, замкнутой. система не обменивается с окружающей средой ни частицами, ни энергией. При таком задании нашей системы мы фиксируем число частиц в ней , ее объем и остальные внешние параметры , а также ее энергию. Причем речь идет не о внутренней энергии, а именно об энергии в обычном механическом понимании.

Состояние равновесия такой системы задается внешними параметрами и ее энергией. Для полноты информации – для того, чтобы написать функцию Гамильтона нашей системы - нам еще, конечно же, нужно знать число частиц N в нашей системе.

Распределение вероятности различных микросостояний замкнутой системы называется микроканоническим.

Вид функции распределения для адиабатически изолированной системы непосредственно вытекает из постулата, который носит название принципа равной вероятности. Этот принцип состоит в следующем. Состояние равновесия нашей замкнутой системы задается ее энергией Е. Функция Гамильтона системы есть ни что иное, как ее полная энергия. Следовательно, микросостояния нашей системы, возможные в заданном состоянии равновесия, определяются условием

. (1)

Никакие другие микросостояния нашей системы в этом ее состоянии равновесия не возможны. Утверждение постулата равной вероятности состоит в том, что с равной вероятностью реализуется любое микросостояние, возможное в данном состоянии равновесия изолированной системы.

Непосредственно из постулата равной вероятности следует, что функция распределения нашей замкнутой системы имеет вид

. (2)

Действительно, пусть энергия нашей системе является не строго постоянной, а может меняться в очень малом интервале от до . Тогда возможные микросостояния нашей системы определяются условием

. (3)

Пусть ширина интервала энергии хоть и конечна, но настолько мала, что для нашей системы с большой точностью справедлив принцип равной вероятности. Т.е. ширина интервала настолько мала, что каждое микросостояние, энергия которого попадает в данный интервал, реализуется с равной вероятностью. Другими словами, функция распределения нашей системы имеет вид

, (4)

где С – константа.

Равновесное значение макроскопического параметра, как мы значем, есть

. (5)

Теперь для того, чтобы перейти от квазизамкнутой системы к истинно замкнутой, мы должны устремить к нулю. В результате мы получим наш внутренний макроскопический параметр

. Согласно определению дельта-функции Дирака этот предел равен

. (6)

Таким образом, функцию распределения адиабатически изолированной системы мы можем написать как произведение нормировочной постоянной на дельта-функцию Дирака, аргумент которой есть разность функции Гамильтона нашей системы и энергии E

.

Значение постоянной определяется условием нормировки

. (7)

Подставляем в условие нормировки явный вид функции распределения и переходим от интегрирования по фазовому пространству к интерированию по энергии в соответствии с той теоремой, которую сформулированной на прошлой лекции. В результате получим

, (8)

где

, (9)

(10)

объем фазового пространства, ограниченный поверхностью постоянной энергии .

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции

. (11)

В результате получаем

. (12)

Отсюда постоянная есть

.