Микроканоническое распределение в квантовой статистике.

Основные идеи теории статистических ансамблей Гиббса непосредственно могут

быть обобщены с классического на квантовый случай. В состоянии равновесия матрица плотности может зависеть лишь от аддитивных интегралов движения, по причинам, совершенно аналогичным рассмотренным выше для классического случая (факторизация матрицы плотности для статистически независимых систем и аддитивность ее логарифма). В квантовой механике такими интегралами движения опять же являются: полная энергия системы (оператор Гамильтона H), полный им пульс P и полный момент импульса M (соответствующие операторы, действующие

в пространстве волновых функций). Соответственно, равновесная матрица плотности может быть функцией только от H, P, M:

ρ = ρ(H, P,M)

Если число частиц N ансамбле не задано, то его нужно учесть как дополнительный аддитивный интеграл движения:

[N, H] = 0 где N – оператор, принимающий целые положительные значения 0, 1, 2,.... Тогда:

ρ = ρ(H, P,M, N)

Для неподвижной системы P = M = 0 и имеем:

ρ = ρ(H) или ρ = ρ(H, N)

Кроме того статоператор может зависеть, как от параметров, от величин, которые заданы для систем в ансамбле, например от объема V.

Микроканоническое распределение в квантовой статистике можно ввести точно также, как и в классической. Рассмотрим для этого ансамбль замкнутых, энергетически изолированных систем с постоянным объемом V и полным числом частиц N, имеющих одинаковую энергию с точностью до ∆E << E. Предположим, что для таких систем все квантовые состояния в энергетическом слое E, E + ∆E равновероятны. Тогда:

[Ω(E, N, V)] ̄ ¹ при E ≤ Ek ≤ E + ∆E

w(Ek) =

0 вне этого слоя

что и называется микроканоническим распределением квантовой статистики. Тут все аналогично классическому случаю, только статвес Ω(E, N, V) не равен фазовому объему, а прямо представляет собой число квантовых состояний в слое E, E+∆E для системы с числом частиц N и объемом V. Это сразу следует из условия нормировки

Микроканоническому распределению соответствует статоператор (матрица плотности):

что можно записать и в операторном виде:

где ∆(x) представляет собой функцию, отличную от нуля на интервале 0 ≤ x ≤ ∆E, где она равна единице, и равную нулю вне этого интервала. Подчеркнем, что предположение о равновероятности квантовых состояний с одинаковой энергией для замкнутой изолированной системы является простейшим, но отнюдь не самоочевидным предположением. Проблема обоснования этой гипотезы составляет суть квантовомеханической эргодической проблемы.