Достаточное условие эргодичности по корреляционной функции

Теорема. Если случайный процесс стационарен в широком смысле, и для процесса выполняется условие эргодичности по математическому ожиданию, то процесс является эргодическим по корреляционной функции.

 

Основные характеристики для эргодического процесса:

,

,

.

 

Стационарно связанные случайные процессы

Опр. Два случайных процесса называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов .

Свойство корреляционной функции стационарно связанных процессов:

.

Пример. Найти корреляционную функцию стационарно связанных процессов , если .

Пример. Пусть передается сигнал

 

Теорема. Первая производная от стационарного случайного процесса является стационарным процессом со следующими характеристиками:

,

,

.

Пример.

,

,

.

Пример. , .

 

 

Элементы стохастического анализа {1}

Виды сходимости последовательности СВ в пространстве.

1) Последовательность СВ называется сходящейся почти наверное к СВ (), если

(за исключением быть может ).

2) Последовательность СВ называется сходящейся по вероятности к СВ (), если

.

3) Последовательность СВ называется сходящейся в среднеквадратическомсмысл е к СВ (), если

.

Из сходимости почти наверное сходимость по вероятности. Из сходимости в среднеквадратическом сходимость по вероятности.

 

 

.

 

Мы рассматриваем гильбертовы СП, т.е. для которых .

Так как существуют разные виды сходимости для СВ, то соответствующим образом существуют различные виды непрерывности для СП. Кроме того, для различных видов непрерывности (а также дифференцируемости, интегрируемости и др.) имеются соответствующие критерии, которые позволяют установить непрерывность СП (дифференцируемость, интегрируемость и др.).

СП называется непрерывным на Т, если . Почти все траектории непрерывного СП являются непрерывными в обычном смысле функциями. Непрерывный СП является почти наверное непрерывным в каждой точке , . Но не наоборот в общем случае.

Непрерывность в смысле сходимости по вероятности называется стохастической непрерывностью; это самый слабый из рассматриваемых видов непрерывности.

СП называется стохастически непрерывным в точке , если .

Наиболее важной является среднеквадратическая непрерывность.

СП называется среднеквадратически (с.к.-) непрерывным в точке , если .

СП называется с.к.-непрерывным на Т, если он непрерывен в каждой точке .