|
|
|
, где 
, то сначала надо найти оригинал от рациональной дроби, а затем применить теорему запаздывания.
Пример1. Найти оригинал следующего изображения: 
Найдем сначала оригинал для дроби 
.
Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов
При 
получим 
При 
получим 
При 
получим 
,
оригинал равен 
, а оригинал данного 
.
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригиналы следующих изображений:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
Ответы:
Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Принцип решения рассмотрим на примере решения уравнения второго порядка. Пусть требуется решить задачу Коши:
.
Пусть 
, а f(t) 
F(p), тогда 
,
Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, уравнение примет вид:
или 
.
Это уравнение является алгебраическим, линейным относительно 
. Решив его, получим 
.
Теперь по найденному изображению можно восстановить соответствующий ему оригинал x(t),т.е. найти решение данного дифференциального уравнения. Легко заметить, что в знаменателях обеих дробей стоит характеристический многочлен исходного уравнения, и что простой вид приобретает, если начальные условия задачи Коши нулевые.
Пример 1. Решить задачу Коши 
.
Решение.
Обозначим через изображение искомого решения, тогда 
, а 
, а изображение данного уравнения имеет вид 
, откуда 
.
Оригинал данного изображения x(t)=2t2-1,и это и есть решение данного уравнения.
Пример 2. Решить задачу Коши.
Решение.
Пусть - изображение искомого решения x(t), тогда , 
, а 
.
Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид 
, отсюда 
.
Используя таблицу основных изображений и таблицу сверток, получаем, что
Пример 4. Решить задачу Коши.
Решение.
|
– изображение решения x(t) данного уравнения, тогда 
, 
.
Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид: 
, следовательно 
, отсюда 
;
;
, т.о. по таблице изображений и теореме запаздывания получаем, что 
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте алгоритм решения дифференциального уравнения
Примеры для самостоятельного решения. Решить задачу Коши.
Ответы
Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений решаются аналогично тому, как решаются дифференциальные уравнения.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти решение системы.
.
Пусть 
, а 
, 
, изображение системы имеет вид:
или 
Найдём решение этой линейной системы по формулам Крамера:
, отсюда 
, отсюда 
