Определение. Единичной функцией Хэвисайда называется функция 
.
График этой функции выглядит следующим образом:
 |
С помощью этой функции оригиналы можно записывать в аналитическом виде.
Пример 1. Построить график и записать единым аналитическим выражением 
.
Решение. 
Пример 2. Построить график и записать единым аналитическим выражением 
Решение. 
Определение. Смещенной единичной функцией Хэвисайда называется функция 
, 
.
Число 
- это “ задержка ” или смещение этой функции.
График смещённой функции Хэвисайда выглядит следующим образом.
С помощью функции Хэвисайда, любую функцию 
можно “включить с задержкой “ путём умножения на 
.
Пример 3. Построить график и записать единым аналитическим выражением 
.
Решение. 
Пример 4. Построить график и записать единым аналитическим выражением 
.
Решение. 
Примеры для самостоятельного решения
Построить графики следующих оригиналов
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
Ответы:
1)
| 2)
|
3)
| 4)
|
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение функции Хевисайда
2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда
Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.
Определение. Изображением функции - оригинала 
называется функция 
комплексной переменной 
, определяемая формулой 
.
Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.
Определение. Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу его изображение называют преобразованием Лапласа.
Теорема. Для всякого оригинала существует изображение , определённое в полуплоскости 
, где 
— показатель роста , причём связь между и является взаимно – однозначной.
Соответствие изображения оригиналу можно обозначать следующим образом: 
, а соответствие оригинала изображению 
таким образом: 
.
Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда 
:
Таким образом 
, если 
.
Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности.
Если 
, а 
, то при любых 
.
Свойство затухания.
Если 
, то 
.
Свойство подобия.
Если , то 
для любого 
.
С помощью основных свойств преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, которые затем поместим в таблицу.
Найдем изображение константы с.
.
Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:
 ,
|  ,
|
 ,
|  ;
|
Используя свойства затухания и линейности получаем:
;
;
;
.
Применяя свойство затухания, получаем:
;
;
;
.
Примеры 1-4. Найти изображение следующих оригиналов
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
| 4) 
|
Решение.
Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение изображения
2. Сформулируйте теорему линейности
3. Сформулируйте теорему подобия
4. Сформулируйте теорему затухания
