Функция СТЬЮДРАСП
См. также ДОВЕРИТ, СТЬЮДРАСПОБР, ТТЕСТ.
Синтаксис;
СТЬЮДРАСП (x; степени свободы; хвосты)
Результат;
Рассчитывает t-распределение (распределение Стьюдента).
Аргументы;
x: значение, для которого вычисляется t-распределение;
степени свободы: число степеней свободы;
хвосты: число рассчитываемых хвостов распределения. Если аргумент хвосты = 1, то функция СТЬЮДРАСП рассчитывает одностороннее t-распределение; если аргумент хвосты = 2 — двустороннее t-распределение.
Математико-статистическая интерпретация;
При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой Ляпунова нормально (или приближается к нормальному) по мере увеличения числа наблюдений. Вероятность выхода ошибки за определенные пределы оценивается на основе таблиц интеграла Лапласа (см. описание функции ДОВЕРИТ в подразд. 6.3.1).
Однако в практике статистических исследований часто приходится сталкиваться с так называемыми малыми выборками, объем которых не превышает 30 ед. и может доходить до 4-5 ед.
Разработка теории малой выборки была начата в 1908 г. английским статистиком Госсетом, печатавшимся под псевдонимом Стьюдент. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения, получивший название распределения Стьюдента. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым t-критерием (критерием Стьюдента), вычисляемым по формуле
t = 
где 
— генеральная средняя;
— выборочная средняя;
— мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.
Величина определяется следующей формулой:
= 
где величина 
вычисляется на основе данных выборочного наблюдения:
= 
Предельная ошибка малой выборки ΔМВ связана со средней ошибки малой выборки и коэффициентом доверия t (критерием Стьюдента) следующим соотношением:
ΔМВ = t
В данном случае величина t связана не с нормальным распределением, а с распределением Стьюдента, которое при небольшом объеме выборки отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.
При увеличении n распределение Стьюдента стремится к нормальному и при n 
переходит в него.
Пример 6.15. При контрольной проверке качества поставленного в торговлю маргарина получены следующие данные о содержании консерванта Е205 в 10 пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Какова вероятность того, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии не выйдет за пределы 0,1% его среднего содержания в представленных пробах?
Рассмотрим решение задачи в среде Microsoft Excel (табл. 6.7).
Табл. 6.7
Содержимое ячеек в табл. 6.7:
массив С2:С11 содержит исходные данные задачи;
ячейка С12 содержит формулу =СРЗНАЧ(С2:С11) — рассчитывается значение выборочной средней ;
ячейка С13 содержит формулу =С12 - 0,1 — определяется нижняя граница генеральной средней;
ячейка С14 содержит формулу =С12 + 0,1 - определяется верхняя граница генеральной средней;
ячейка С15 содержит формулу =СТАНДОТКЛОНП(С2:С11) — вычисляется стандартное отклонение ;
ячейка С16 содержит формулу =С15/КОРЕНЬ(10-1) — рассчитывается значение средней ошибки выборки ;
ячейка С17 содержит формулу =0,1/С16 - рассчитывает значение коэффициента доверия t (здесь величина 0,1 — значение предельной ошибки выборки ΔМВ, заданное в условии задачи);
ячейка С18 содержит формулу =1- СТЬЮДРАСП(С17;9;2) — рассчитывается значение доверительной вероятности γ.
Примечание. Аргументом функции СТЬЮДРАСП является число степеней свободы k = n - 1. Для рассматриваемой задачи k = 10 - 1 = 9.
Таким образом, на основании проведенного выборочного контроля качества продукции можно заключить, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии будет находиться в пределах от 4,0 до 4,2% с уровнем надежности 72%.
Функция СТЬЮДРАСПОБР
См. также СТЬЮДРАСП, ТТЕСТ
Синтаксис;
СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени свободы)
Результат
Рассчитывает обратное t-распределение.
Аргументы;
вероятность: вероятность, соответствующая двустороннему t-распределению (уровень значимости α);
степени свободы: число степеней свободы.
Математико-статистическая интерпретация;
См. описание функции СТЬЮДРАСП.
Функция обратного распределения Стьюдента используется в ситуациях, когда известен уровень надежности (или уровень значимости) и необходимо рассчитать значение t-критерия.
Например, формула =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4) рассчитывает значение 2,78 (сравните с формулой =СТЬЮДРАСП(2,78;4;2), вычисляющей значение 0,05).
Пример 6.16. В задаче, рассмотренной в примере 6.15, с уровнем надежности 95 % требуется определить границы интервала, в котором находится средний процент содержания консерванта Е205 в партии маргарина.
Исходя из числа степеней свободы k(k=n-1=10-1=9) и заданного уровня надежности 95 % (уровня значимости α = 0,05) находим значение коэффициента доверия, равное 2,26 (формула =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;9)). По формуле Δ МВ = t (2.26*0.087) находим значение предельной ошибки малой выборки, равное 0,20 (расчет значения см. в описании функции СТЬЮДРАСП).
Следовательно, с уровнем надежности 95% можно предположить, что во всей партии маргарина содержание консерванта Е205 находится в пределах 4,1+0,2%, т. е. от 3,9 до 4,3 %.
