Если интеграл 
сходится для всех 
, а интеграл 
сходится равномерно относительно 
в том же промежутке, то 
имеет место формула 
.
► При 
рассмотрим 
и докажем, что здесь допустим предельный переход по параметру 
под знаком интеграла.
Лемма. Если 
, то 
при стремится к 
равномерно относительно 
.
► Действительно, из условия непрерывности функции 
на компактном множестве 
следует её равномерная непрерывность на этом множестве, т.е. для любого 
существует 
такое, что из условий 
следует 
.
При 
, 
, 
из этого неравенства следует, что если 
, то
.
Тем самым лемма доказана. ◄
Так как по теореме Лагранжа 
в котором из неравенства 
следует, что 
и, по доказанному неравенству (1),
получаем: 
Вернёмся к доказательству теоремы и используем доказанную теорему:
Пусть интегрируема (в собственном смысле) на в промежутке при любом и в каждом таком промежутке при равномерно относительно стремится к предельной функции. Если, кроме того, интеграл сходится равномерно относительно (в), то.
Чтобы её применить, осталось убедиться в равномерной сходимости относительно 
интеграла
.
По условию, 
сходится равномерно. Это означает, что для любого существует 
такое, что для любых 
| (1) |
для всех 
.
Докажем, что одновременно
| (2) |
для всех возможных .
Для этого зафиксируем 
и 
и рассмотрим
.
Это – собственный интеграл, зависящий от параметра, и к нему применима теорема Лейбница: если 
непрерывна на 
, 
тоже непрерывна на 
, то 
дифференцируема на 
, причём 
(в концах отрезка имеем односторонние производные).
Поэтому 
.
Доказанное выше неравенство (1) означает, что 
для любого .
Рассмотрим отношение 
.
С одной стороны, по теореме Лагранжа эта величина равна 
.
С другой стороны,
.
Вспомним критерий Коши равномерной сходимости интеграла:
равномерно сходится на множестве 
тогда и только тогда, когда 
.
Нами доказано, что
Это означает, что критерий Коши выполняется и что интеграл
сходится равномерно относительно . Применяем теорему 21.1 о предельном переходе:
◄
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ПАРАМЕТРУ
Теорема 11. Пусть непрерывна на множестве,. Если интеграл сходится равномерно на (относительно), то
(1)
Интеграл в левой части существует, т.к. по доказанному выше, 
- непрерывная функция. По теореме об интегрировании по параметру собственного интеграла, для любого 
имеем:
(2)
Функция 
непрерывна по (как собственный интеграл от непрерывной функции). Кроме того, 
стремится к при 
равномерно относительно (по условию теоремы).
Вспомним доказанную ранее теорему:
