Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

РАЗДЕЛ 8. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

· Описываются свойства собственных интегралов, зависящих от параметра

· Описываются свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПРАВИЛО ЛЕЙБНИЦА. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАВИСЯТ ОТ Y

Теорема1. (Правило Лейбница). Пусть непрерывны на . Тогда дифференцируема на , причём

(В концах отрезка производные односторонние)

Пусть , , . Тогда

Подынтегральная функция непрерывна по , значит, интегрируема. По теореме Лагранжа получаем:

,

По условию, и, значит, равномерно непрерывна на ; поэтому для любого существует такое, что из неравенств , следует, что

При , , получаем, что если , то для любого

,

откуда

и

Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы пусть,, где, дифференцируемы на. Тогда

 

(обозначим , , )

Дословно повторяя рассуждения предыдущей теоремы, получим, что при

Далее, по теореме о среднем, ввиду непрерывности

()

При получаем

Пример 1.

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ СОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Теорема 3. Пусть. Тогда существуют и равны интегралы

Обозначим первый из этих интегралов , второй - .

Положим , , .

Докажем, что эта функция непрерывна по совокупности переменных.

Оба слагаемых стремятся к 0(первое- ввиду непрерывности ,второе – по теореме о среднем для определённого интеграла) при . Кроме того,

по свойству интеграла с переменным верхним пределом, поэтому для

имеем, по правилу Лейбница,

(это обозначение).

Но для , по теореме Ньютона-Лейбница имеем:

где

Итак, ,

выполнено равенство

. При получаем теорему.

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

Пусть определена при и любом ( - множество значений параметра y) и пусть для любого сходится интеграл

(1)

Этот интеграл будем называть сходящимся несобственным интегралом, зависящим от параметра.

Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, во многом схоже с понятием функционального ряда

(2)

Функция соответствует , переменой интегрирования в (1) соответствует индекс суммирования в (2), параметру в (1) соответствует переменная в (2).

По определению несобственного интеграла

.

Рассмотрим интеграл

(3)

(интеграл (3) аналогичен частичной сумме ряда (2), )

Сходимость (поточечная) интеграла (1) в области означает, что для любого существует , т.е.

(4)

Напомним, что аналогичное (4) условие поточечной сходимости ряда на множестве имело вид

(5)

сходный с определением поточечной сходимости интеграла (1) на множестве .

При рассмотрении теории рядов мы отмечали, что требование поточечной сходимости(5) ряда (2) не является достаточным для того, чтобы выполнялись равенства:

(6)

(7)

(8)

Аналогичная проблема возникает и для несобственного интеграла, зависящего от параметра. Например, если взять , , то полагая в нем , получаем, что , т.е. равен постоянной величине, от не зависящей и .

Однако если рассмотреть интеграл

, то легко показать, что он расходится. Действительно, при , поэтому при выполняется равенство , а эта последняя величина не имеет предела при .

Для того, чтобы обеспечить выполнение равенств (6)-(8), для рядов было введено понятие равномерной сходимости, определяемое условиями

(9)

Равномерность сходимости состоит в том, что число не зависит от .

Аналогично (9) определяем равномерную относительно сходимость интеграла на множестве параметров :

(10)

Отметим, что отсутствие равномерной сходимости означает

(11)

Пример. Интеграл

(12)

сходится при любом . Действительно, . Рассмотрим, при ,величину ,т.е.

(условие было использовано в предпоследнем равенстве (при замене переменной сохранился верхний предел интегрирования )).

Эта величина меньше , т.е. , если , т.е. если , .

Если область изменения параметров такова, что для всех выполняется неравенство , то сходимость интеграла (12) равномерная, т.к. тогда положим (здесь - фиксированная величина) и и имеют место неравенства т.е. . Таким образом, условие (10) выполняется.

Однако в области , когда значения параметра могут быть сколь угодно близкими к числу 0, сходимость интеграла (12) перестанет быть равномерной. Действительно, тогда существует , например можно взять любое число, удовлетворяющее неравенствам , и для любого существуют и , например, , с условием , или , такие что .

Значит, выполняется (11) и интеграл (12) не сходится равномерно в области .