Пусть мы снова рассматриваем график функции 
и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку 
плоскости OXY и параллельными оси Z. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку 
. Проекция такой кривой на плоскость OXY есть прямая линия, проходящая через точку 
. Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через 
, а точки прямой – буквами М. Введём понятие величины отрезка 
:
длине отрезка 
со знаком “+”, если 
и имеют одинаковые направления;
длине отрезка со знаком “-”, если и имеют разные направления;
Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку 
и направление . Пусть для этой точки плоскости определена величина 
- функция от точки М.
Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат). Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом, не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например, пальцем, что не служит признаком хорошего воспитания) и т.д.
Рассмотрим теперь точки М, лежащие на прямой, проходящей через 
в указанном направлении и соответствующую величину 
; если существует предел этой величины при стремлении М к М0 вдоль прямой, то он называется производной z(M) в точке M0 по направлению и обозначается 
. Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть 
имеет координаты 
, М – координаты 
, имеет координаты 
. Тогда вводя параметризацию 
, 
, для прямой, соединяющей М0 с М, М0М=t, получаем: 
(т. к. мы предположили, что z – дифференцируема в 
) 
При 
и 
. Поэтому 
Аналогично, в случае 3-х переменных 
Скалярное произведение в правых частях или можно представить, как 
(поскольку 
), где 
- угол между 
и заданным направлением 
.
Мы видим, что это выражение имеет наибольшую величину, когда 
. Это позволяет определить градиент, как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, не зависящую от наблюдателя.
Установим ряд важных свойств градиента: пусть 
и 
имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. Если 
, то 
;
5. Если 
- функция одной переменной, имеющая производную, то 
.
