Пусть 
определена в некоторой окрестности точки 
, 
- точка из этой окрестности.
Определение. Величина 
называется приращением функции 
в точке, 
соответствующим приращению аргумента 
.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа 
и функции 
при 
(18.1)
Часто обозначают 
и 
. Тогда перепишем в виде 
.
При 
наше определение совпадает с известными определением дифференцируемости 
. Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.
Сначала введем в рассмотрение величину 
. Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кроме i -той.
Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого 
при 
Поскольку 
при фиксированных значениях 
равносильно тому, что 
, равенство означает, что функция одной переменной 
.
дифференцируема в точке 
и, значит, существует
называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .
Мы только что, тем самым, доказали теорему:
Теорема. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют 
.
Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом 
при 
.
Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.
Теорема. Если дифференцируема в точке , то 
.
Однако, в отличие от случая 
, из существования частных производных , не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке .
Пример. 
. Тогда 
, так как 
. Аналогично, 
. Однако 
даже не непрерывна в точке 
.
Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.
Теорема. Пусть частные производные 
существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .
Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция 
дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.
Замечание. Тем не менее, для функции 
частные производные в точке равны 0, так как 
и 
(в остальных точках 
, 
и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке . Но при1ращение 
не имеет вид 
, где 
при 
. Действительно, полагая 
и предполагая, что 
получаем 
, или 
что невозможно, так как при 
правая часть стремится к 0, а левая нет!
Пусть 
определена в некоторой окрестности точки 
, и пусть в этой точке существуют 
, 
.
Определение. Линейная функция от 
независимых переменных 
вида
называется дифференциалом 
в точке и обозначается 
.
Каждую из независимых переменных 
, 
можно рассматривать как функцию 
, причем 
, , а для любого 
и любого 
имеем 
.
Тогда, последовательно выбирая 
, , получаем
.
Подставляя вместо 
величину 
, получаем более часто употребляемую запись дифференциала:
.
Обычно величинам переменных придают значения 
приращений независимых переменных, не входящих при добавлении 
к рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменных 
означает, что если взять какое-то приращение 
, то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора 
).
Поэтому
для независимых переменных (для них, напомним еще раз, 
).
Вспомним определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид
,
где 
при 
.
Это равенство можно переписать в виде
.
Оно означает, что если среди чисел 
есть отличное от нуля, то представляет собой главную, притом линейную по 
, часть приращения.
Определим (пока формально) вектор 
. Тогда 
(скалярное произведение). (Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции. Напомним, что 
.)
Для отображения 
пространства 
в 
, состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал 
. При этом
.
Матрица 
называется матрицей Якоби отображения 
.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Допустим, что 
дифференцируемая в точке функция, 
и 
, причем 
– дифференцируемые в точке 
функции. Положим 
. Тогда 
, где 
при 
.
В определении дифференцируемости можно доопределить функции 
в точке , положив 
. Тогда при 
(а может быть, и принимает значения 
). Но тогда 
(так как у нас доопределены в точке нулем) и 
, таким образом, 
Рассмотрим теперь случай, когда 
. Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях 
Эти равенства дают правилавычисления производных сложных функций.
Следствие. Следствием этих правил является инвариантность формы первого дифференциала. Именно, пусть 
. Тогда 
.
Это означает, что как в случае независимых переменных 
, так и в случае зависимых переменных 
.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке 
, если расстояние от точки 
до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем 
при 
. При этом касательная имеет уравнение 
) будем называть плоскость касательной к поверхности в точке 
, если расстояние от точки 
до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем 
при 
.
Пусть 
дифференцируема в точке 
. Существует касательная плоскость к этой поверхности в точке 
и она задается уравнением 
.
