Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Пусть определена в некоторой окрестности точки , - точка из этой окрестности.

Определение. Величина называется приращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа и функции при (18.1)

Часто обозначают и . Тогда перепишем в виде .

При наше определение совпадает с известными определением дифференцируемости . Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кроме i -той.

Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого при

Поскольку при фиксированных значениях равносильно тому, что , равенство означает, что функция одной переменной .

дифференцируема в точке и, значит, существует

называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Теорема. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом при .

Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема. Если дифференцируема в точке , то .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных , не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке .

Пример. . Тогда , так как . Аналогично, . Однако даже не непрерывна в точке .

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание. Тем не менее, для функции частные производные в точке равны 0, так как и (в остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке . Но при1ращение не имеет вид , где при . Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или что невозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!

Пусть определена в некоторой окрестности точки , и пусть в этой точке существуют , .

Определение. Линейная функция от независимых переменных вида

называется дифференциалом в точке и обозначается .

Каждую из независимых переменных , можно рассматривать как функцию , причем , , а для любого и любого имеем .

Тогда, последовательно выбирая , , получаем

.

Подставляя вместо величину , получаем более часто употребляемую запись дифференциала:

.

Обычно величинам переменных придают значения приращений независимых переменных, не входящих при добавлении к рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменных означает, что если взять какое-то приращение , то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора ).

Поэтому

для независимых переменных (для них, напомним еще раз, ).

Вспомним определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид

,

где при .

Это равенство можно переписать в виде

.

Оно означает, что если среди чисел есть отличное от нуля, то представляет собой главную, притом линейную по , часть приращения.

Определим (пока формально) вектор . Тогда (скалярное произведение). (Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции. Напомним, что .)

Для отображения пространства в , состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал . При этом

.

Матрица называется матрицей Якоби отображения .

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Допустим, что дифференцируемая в точке функция, и , причем – дифференцируемые в точке функции. Положим . Тогда , где при .

В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке , положив . Тогда при (а может быть, и принимает значения ). Но тогда (так как у нас доопределены в точке нулем) и , таким образом, Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях

Эти равенства дают правилавычисления производных сложных функций.

Следствие. Следствием этих правил является инвариантность формы первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда .

Это означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных .

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ

По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке , если расстояние от точки до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем при . При этом касательная имеет уравнение ) будем называть плоскость касательной к поверхности в точке , если расстояние от точки до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

 

Пусть дифференцируема в точке . Существует касательная плоскость к этой поверхности в точке и она задается уравнением .