Теоретические сведения и примеры.
Комплексные числа.
Решение уравнения 
невозможно в поле действительных чисел. Но нужды математики и особенно физики требовали решения этого и подобных ему уравнений. Пусть i – ‘это такое число, которое в квадрате дает минус единицу. Этого числа нет среди действительных чисел. Но, если пополнить поле действительных чисел этой «мнимой» единицей, то данное уравнение будет иметь решение. Одному из первых, эта догадка пришла в голову обрусевшему немцу Леонарду Эйлеру. В последствии, другому немцу – Карлу Гауссу удалось показать, что любое полиномиальное уравнение над полем пополненных чисел (их назвали комплексными) всегда имеет решение.
Определение 1. Комплексным числом z называется выражение вида 
, где x и y – вещественные числа, а i – число, квадрат которого равен –1,
.
Число x – называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Re z, а число y называется мнимой частью этого комплексного числа и обозначается Im z:. Множество всех комплексных чисел будем называть комплексной плоскостью и обозначать буквой С.
Если y = 0, то z вещественное число, равное x; если х = 0, то z – чисто мнимое число, равное iy. Следовательно, вещественные числа – есть частный случай комплексных чисел. Два комплексных числа 
являются равными тогда и только тогда, когда 
. Комплексные числа 
, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными числами
Каждое комплексное число 
можно изобразить на плоскости хОу точкой М с координатами a и b. В связи с этим плоскость хОу называют комплексной плоскостью.
Рис.1
Вещественные числа 
изображаются точками на оси Ох, чисто мнимые 
изображаются точками на оси Оу. Поэтому ось Ох называют вещественной осью, а ось Оу – мнимой осью.
Точки, изображающие сопряженные комплексные числа, симметричны относительно вещественной оси. Изображением комплексного числа 
может служить вектор 
, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М(а,b). Полярные координаты r и j точки М называются соответственно модулем r = |z| и аргументом j = Argz комплексного числа . Модуль и аргумент комплексного числа определяются из равенств.
Модуль определяется однозначно. Для z = 0 аргумент не определен. Для всех остальных 
множество значений аргумента j бесконечно (это множество, обычно, обозначается Argz). Все значения аргумента отличаются друг от друга на слагаемое 
, где k принадлежит целым числам. Чтобы устранить эту неоднозначность, среди бесконечного множества всех аргументов фиксируют лишь один, удовлетворяющий неравенствам
,
который называют главным значением аргумента и обозначают через argz.
Возьмем комплексное число 
. Очевидно,
Тогда комплексному числу z можно придать форму:
,
которую называют тригонометрической формой комплексного числа z. А форму – называют алгебраической формой комплексного числа z.
Справедлива формула, которая носить имя Эйлера:
.
На основании этой формулы любое комплексное число z можно записать в виде:
.
Эта запись называется показательной (или, иногда говорят, полярной) формой комплексного числа z. Два комплексных числа в тригонометрической или показательной форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на слагаемое вида 
.
Как было замечено выше, на комплексные числа можно смотреть как на векторы лежащие на плоскости. Поэтому, естественно, сложение чисел определить как сложение векторов.
Определение 2. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число
.
