Лекция 1. Переходные процессы в электрических цепях

Включение и выключение источников и приемников электроэнергии, возникновение коротких замыканий и т. п. связано с мгновенным изменением параметров электрических цепей и сопровождается протеканием в них переходных электромагнитных процессов. Переходным называется процесс, возникающий в любой системе при переходе от одного установившегося процесса (режима) к другому. Электромагнитные переходные процессы занимают обычно относительно небольшое время (от долей до нескольких секунд), но сопровождаются „бросками" токов, „провалами" или „всплесками" напряжений, которые могут вызвать срабатывание защитных устройств, повреждение деталей, чрезмерные перегревы, пробой изоляции и др.

Рис. 1.1. Схема электрической цепи с обобщенными параметрами при подключении к источнику электроэнергии

При подключении r –L цепи выключателем S источнику постоянного тока возникает переходный процесс между начальным установившимся режимом работы, соответствующим i= 0и конечным установившимся режимом, соответствующим току i= i_уст. Изменение тока в цепи от 0 до i_уст за время переходного процесса связано с изменением магнитного потока катушки и возникновением в ней ЭДС самоиндукции е _L = - L (di/dt). На основании второго закона Кирхгофа (сумма напряжений и ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений) применительно к схеме на рис. 1.1 можно составить следующее уравнение:

(1.1)

Уравнение (1.1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Полное решение данного уравнения относительно тока находится как сумма токов двух частных решений, т. е.

i= i+ i_св (1.2)

Значение тока первого частного решения соответствует установившемуся процессу, который наступает в цепи после окончания переходного процесса. Данный ток принято называть принужденным (или установившимся), поскольку он течет под действием напряжения источника электроэнергии. Значение принужденного тока находится из уравнения (1.1), написанного для установившегося режима, т. е.

i_прr + L di_пр/dt = u (1.3)

Поскольку i_пр=const, di_пр/dt=0, Следовательно, i_прr = u или i_пр= u / r (1.4)

Формула (1.4) соответствует закону Ома для электрической цепи постоянного тока. Значение тока второго частного решения i_св соответствует.свободному процессу изменения тока при отсутствии в цепи источника электроэнергии (при закороченном источнике) под действием запасенной в цепи энергии. Данный ток принято называть свободным. Значение свободного тока находится из уравнения (1.1) при u=0, т.е.

i_свr + L di_св/dt = 0 (1.5)

Решение данного дифференциального уравнения можно представить в следующем виде:

i_{св =}А е ^{- α}^t (1.6)

где А — постоянная интегрирования; е — основание натуральных логарифмов (е = 2,72); α — корень характеристического уравнения.

Постоянная интегрирования А определяется уравнением (1.2) для начальных условий t= 0, i=0

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, имеем откуда

A=u/ r (1.7)

Дифференциальному уравнению (8.5) соответствует следующее характеристическое уравнение:

r +La =0

откуда корень уравнения a = r/L (1.8)

Объединив формулы (8.6) — (8.8), получим

i_св= (- u/r) е ^–^r^/^Lt

Обычно данную формулу принято записывать в виде

i_св= (- u/r) е ^–^τ^/^t (1.9)

где τ — постоянная времени электрической цепи L/r, с.

Из формул (1.4) и (1.9) следует, что принужденный ток имеет постоянное значение, а свободный ток является затухающим. Процесс затухания свободного тока определяется множителем Объединив формулы (1.2), (1.4) и 1.9), получим полное решение уравнения (1.1) в виде

(i=u/r – (u/r) е^–τ/t = u/r(1- е^–τ/t) (1.12)

Рис. 1.2. График изменения токов при подключении электрической цепи к источнику постоянного тока

На рис. 1.2 представлен график изменения принужденного, свободного и общего (результирующего) токов, построенных на основании формул (1.4), (1.9) и (1.12) или (1.2). Из графика видно, что значения принужденного и свободного токов расположены в первом и четвертом квадрантах, ординаты которых имеют противоположное направление. При t=0 значения принужденного и свободного токов равны, но противоположны по направлению, поэтому значение общего тока равно нулю. По мере уменьшения свободного тока происходит нарастание общего тока. При i_св=0 значение общего тока достигает значения принужденного (установившегося) тока i_уст. Нарастание общего тока происходит по кривой, подобной кривой затухания свободного тока. Если через начало координат провести касательную к кривой общего тока, то она, пересекая линию принужденного тока, отсечет отрезок, равный постоянной времени т. Из графика ясно, что длительность переходного процесса пропорциональна значению т, а следовательно отношению L/ r. При L>r переходный процесс затягивается, при L < r — быстро затухает.

При подключении электрической цепи (см. рис. 1.1) к источнику синусоидального переменного тока напряжением u = (U_max_/_Z) sin (wt+α – φ) уравнение переходного процесса (8.1) и методика его решения полностью сохраняются. Однако значения принужденного, свободного и общего токов при этом будут определяться другими формулами. Значение принужденного (установившегося) тока по аналогии с формулой (1,4) определяется законом Ома для электрической цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления r и индуктивного сопротивления х =wt, т. е.

i = (U_{max / Z}) sin (wt+ α – φ) = I_max sin (wt+α – φ) (1.13)

где:

I _max =U_max_/_Z

Z = √г² + х² — полное, активное и реактивное сопротивления электрической

цепи; а — угол, определяющий, напряжение в момент включения при t=0; φ - сдвиг фаз (угол между векторами) тока и напряжения; I_m_ах - амплитудное значение тока.

Свободный ток при t=0 равен по значению и противоположен по направлению принужденному току, т. е,

! i_св!_t=0 =! i _пр!_t=0 = - I_max sin (α – φ) (1.14)

Затем данный ток затухает по экспоненциальной кривой, что определяется множителем е ^– ^τ^/^t. Формула свободного тока в этом случае будет иметь вид:

i_св= - - I_max sin (α – φ) е^–τ/t (1.15)

где τ= L/r = х/wг - постоянная времени электрической цепи.

Общий ток переходного процесса определяется формулой

i = i _пр+ i_св= I_max[sin (wt+α – φ) - sin (α – φ) е^–τ/t] (1.16)

Из формулы (1.13) следует, что принужденный ток изменяется по синусоидальному закону, имеет периодический характер и его называют периодическим током. Характер изменения свободного тока, согласно (1.15), является затухающим и непериодическим, поэтому его принято называть апериодическим.

Анализ формул (1.13), (1.15) и (1.16) дает возможность убедиться, что наибольшие мгновенные значения токов переходного процесса соответствуют включению цепи в момент прохождения напряжения через нулевое значение (при а = 0), а также при φ = - 90⁰,т. е. пренебрегая активным сопротивлением цепи (практически при x >r). Тогда

(1.17)

(1.18)

i = i_пр + i_св = -I _max cosωt + I _max e^-t/τ (1.19)

На рис. 1.3 представлен график изменения токов, построенных на основании формул (1.17) - (1.19). Из графика видно, что при I = 0 значения периодического и апериодического токов равны I_max,, но противоположны по знаку (направлению). Апериодический ток i_а расположенный в первом квадранте, затухает до нуля, не изменяя своего направления. Периодический ток i_пр изменяется по синусоидальной (косинусоидальной) кривой с неизменным значением амплитуды 1_тзх.

Рис. 1.3. График изменения токов при подключении электрической цепи к источнику переменного тока

Через половину периода изменения периодического тока, т. е. при wt= л = Т/2 и t = 1 /2f = 0,01 с, амплитуды периодического и апериодического токов, имея одинаковое направление, дают наибольшее суммарное значение общего тока, которое принято называть ударным током. Значение ударного тока определяется формулой (1.19) при соs π = -1 и τ = 0,01 с

i_уд = I_m_ах + I_m_ах e^-0/01/ ^τ = I_max (1 + e^-0/01/ ^τ) (1.20)

Обозначив К_уд = (1 + e^-0/01/ ^τ), получим: i_уд= К_уд I_max

Из формулы следует, что значение ударного коэффициента изменяется в пределах от 1 до 2 в зависимости от изменения τ в пределах от 0 до ∞ (τ= 0 при х = 0; τ= ∞ при r= 0). В первом случае свободный ток равен нулю, во втором — свободный ток не затухает.

Практически при х>r переходный процесс растягивается, а значение ударного коэффициента приближается к 2; при r > х процесс быстро затухает, а значение коэффициента приближается к 1.

Возникновение короткого замыкания, например между точками а и б схемы на рис. 1.4, связано с мгновенным образованием замкнутой электрической цепи и появлением в ней тока i_к.з, что аналогично подключению переключателем приемника к источнику электроэнергии. Переходный процесс подключения электрической цепи к источнику совпадает с переходным процессом короткого замыкания и описывается формулами (1.1 -1.22).

Рис.1.4 Схема электрической сети при возникновении короткого замыкания в кабеле.

Вместе с тем следует заметить, что указанные формулы получены на основе постоянных значений э.д.с. и напряжения источника питания и постоянных значений активных и реактивных сопротивлений электрической цепи. На практике, при рассмотрении переходных процессов, значения э.д.с. и внутренние сопротивления источников питания (генераторов) и приемников (двигателей) могут изменяться. Поэтому параметры x_и и r_и источников и x_п и r_п приемников на схемах обычно разделяют.

Контрольные вопросы

1.Назовите причины возникновения переходных процессов в энергосистемах.

2.Напишите уравнение переходного процесса при подключении простой R-L цепи к источнику постоянного напряжения.

3. Как определить принужденный (установившийся) и свободный ток в этой цепи? Что является причиной появления свободного тока в цепи?

4.Напишите уравнение переходного процесса при подключении простой R-L цепи к источнику переменного напряжения.

5.Как определить периодический ток и апериодический (свободный) ток в этой цепи. Условия подключения цепи, при которых имеет место максимальные значения апериодических токов.

6 Что такое ударный ток и как его определить?

7. Каковы особенности переходного процесса, соответствующие режиму короткого замыкания в цепи переменного ток?