Задачи для самостоятельного решения. 1. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту

1. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Время полета = 2,20 с. На какую высоту h поднимется тело? (Ответ: h = 5,9 м)

2. Точка движется по окружности радиусом .R = 2,00 см. Зависимость пути от времени дается уравнением , где С = 0,1000 см /с³. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки 0,300 м /с. (Ответ: = 4,50 м/с²; = 0,060 м/с²)

3. Стальная проволока выдерживает силу натяжения Е = 4.40 кН. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз массой т = 400.г, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась? (Ответ: а= 1,25 м/с²)

4. Поезд массой т = 500 т. двигаясь равнозамедленно, в течение времени t=1,00 мин уменьшает свою скорость от 40 км/ч до 28 км/ч. Найти силу торможения F. (Ответ: F = 28 кН)

5. Какую силу F надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время t=30,0 с прошел путь м? Масса вагона т = 16,0 т, Во время движения на вагон действует сила трения , равная 0,0500 действующейна него силытяжести (Ответ: F= 8,2 кН)

6. Молекула массой т= 4,65*10^{-26 кг, летящая со скоростью = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом = 60° к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс, полученный стенкой за время удара. (Ответ: Р = 2,8*10-23}кг м / с)

7. На автомобиль массой т= 1т во время движения, действует сила трения , равная 0,1 действующей на него силы тяжести . Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением а= 1 м/с² в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м-пути. (Ответ F=2,37 кН)

8. Тело скользит сначала вниз по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения k на всем пути, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной плоскости. (Ответ: k= 0,07)

9. Два шара движутся навстречу друг другу и соударяются абсолютно не упруго. Скорости шаров до удара были = 2 м/с и = 4 м/с. Общая скорость шаров после удара и = 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости Во сколько раз кинетическая энергия первого шара была больше кинетической энергии второго шара? (Ответ: ).

10. Движущийся шар массой , ударяется о неподвижный шар массой ₂. Каким должно быть отношение масс , чтобы при центральном абсолютно упругом ударе скорость первого шара уменьшилась в 1,5 раза? С какой кинетической энергией Е начнет двигаться при этом второй шар, если первоначальная кинетическая энергия первого шара =1кДж? (Ответ: =5; Е_К2 = 5/9кДж)

11. Диск вращается вокруг вертикальной оси счастотой п = 30 об/мин. На расстоянии = 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения k между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска? (Ответ: k= 0,2)

12. Найти вторую космическую скорость , т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли. (Ответ: км/с)

13. Диск массой т=2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию Е_к диска. (Ответ =24,0 Дж)

14. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру в условиях предыдущей задачи? Радиус платформы R =1, 5м. (Ответ: А = 162Дж)

15. Точка движется по окружности радиусом 4 м. Закон ее движения выражается уравнением , где s - в метрах, - в секундах. Найти: 1) в какой момент времени нормальное ускорение тощей будет м/с²; 2) чему равны скорость, тангенциальное и полное ускорения точки в этот момент времени?(Ответ: 1,5 с: - 6 м/с; - 4 м/с²; 9,84 м/с²)

16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям

и ,

где х - в метрах, t -.в секундах. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорость точек в этот момент. (Ответ:0.235 с; 5,10 м/с; 0,286 м /с)

17. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m₁ = 1 00 г и m₂ = 300 г. Массу колеса М=200 г считать равномерно распределенной по его ободу, массой спиц пренебречь. Определить: 1) ускорение, с которым будут двигаться грузы; 2) силы натяжения нити по обе стороны блока. (Ответ: 3.27 м/с²; 1,31 Н; 1,96 Н)

18. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость = 10 об/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? (Ответ: у первого больше в 1,2 раза)

больше в 1,2 раза)

19. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси, делая 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, она стала делать п₂ = 25 об/мин. Масса человека т= 70 кг. Определить массу М платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. (Ответ: 210 кг)

20. Стержень, нижний конец которого скользит по горизонтальной плоскости, падает из вертикального положения. С какой скоростью упадет на землю верхний конец, если (Ответ: м/с)

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Единицы тепловых величин

Для получения производных единиц тепловых величин в системе СИ используются основные единицы: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К).

В табл. 11 и 12 приводятся важнейшие производные единицы тепловых величин в системе СИ, а также внесистемные единицы, основанные на калории.

Единицы молярных величин образуются из перечисленных в табл. 11 и 12 единиц удельных величин шлем замены в них килограмма молем.

Таблица 11.

Величина	Единица	Размерность величины
определение	наименование	обозначение
Количество теплоты		джоуль	Дж
Теплоемкость системы		джоуль на кельвин	Дж/К

Приращение энтропии при обратимом процессе системы		джоуль на кельвин	Дж/К
Удельная теплоемкость		джоуль на килограмм кельвин	Дж/(кг К)
Удельная энтропия		джоуль на килограмм кельвин	Дж/(кг К)
Удельная теплота фазового превращения		джоуль на килограмм	Дж/кг
Модуль градиента температуры		кельвин на метр	К/м
Тепловой поток		ватт	Вт
Плотность теплового потока		ватт на квадратный метр	Вт/м²
Теплопроводность		ватт на метр кельвин	Вт/(м К)
Температуро-проводимость		квадратный метр в секунду	м²/с
Коэффициент теплообмена		ватт на квадратный метр-кельвин	Вт/(м² К)

Таблица 12.

Величина	Единица и её связь с единицами СИ
Количество теплоты	1кал=4,19Дж
Теплоемкость системы; энтропия системы	1кал=4,19Дж/К
Удельная теплоемкость; удельная энтропия	1кал/(г К)=4,19*10³Дж/(кг К)
Удельная теплота фазового превращения	1кал/г=4,19*10³Дж/кг
Тепловой поток	1кал/с=4,19Вт
Плотность теплового потока	1кал/(с см)=4,19*10⁴Вт/м²
Теплопроводность	1кал/(с см К)=4,19*10²Вт/(м К)

Основные формулы

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния , гдг р - давление газа, V - его объем. Т - термодинамическая температура, m -масса газа, М - молярная масса газа, R = 8.31441 Дж /(моль * К) - газовая постоянная: отношение v = m/ М дает количество газа.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, т.е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение кинетической теории газов имеет вид

где п - число молекул в единице объема, -средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, - масса молекулы, -средняя квадратичная скорость молекул. Эти величины определяются следующими формулами: число молекул в единице объема , где Дж/К - постоянная Больцмана, = 6,022045*10²³ моль^-1 - постоянная Авогадро; средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы , средняя квадратичная скорость молекул , причем .

Внутренняя энергия газа , где i - число степеней свободы молекул.

Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями следует из определения: С = М с. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме ;молярная теплоемкость при постоянном давлении .

Отсюда следует, что молярная теплоемкость С определяется числом степеней свободы i молекул газа:

-для одноатомного газа (i= 3) =12,5 Дж/(моль К), =20,8 Дж/(моль К);

-для двухатомного газа (i =5) =20,8 Дж/(моль К), =29,1 Дж/(моль К);

-для многоатомного газа =24,9 Дж/(моль К), =33,2 Дж/(моль К).

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) позволяет найти число молекул , относительно скорости которых лежат в интервале от и до и- : Здесь - относительная скорость, - данная скорость и - наиболее вероятная скорость молекул, - интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью и.

При решении задач на закон, распределения молекул по скоростям удобно пользоваться табл.13, в которой даны значения для различных и.

Таблица 13.

и		и		и
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8	0,02 0,09 0,18 0,31 0,44 0,57 0,68 0,76	0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7	0,81 0,83 0,82 0,78 0,71 0,63 0,54 0,46 0,36	1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5	0,29 0,22 0,16 1,12 0,09 0,06 0,04 0,03

Средняя арифметическая скорость молекул .

Во многих случаях важно знать число молекул , скорости которых превышают заданное значение скорости . В табл.14 даны значения для различных , где - общее число молекул.

Таблица 14.

и		и		и
0,2 0,4 0,5	1,000 0,994 0,957 0,918	0,6 0,7 0,8 1,0	0,868 0,806 0,734 0,572	1,25 1,5 2,0 2,5	0,374 0,213 0,046 0,0057

Барометрическая формула дает закон убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести: Здесь -давление газа на высоте h. р₀- давление на высоте 9,30665 м/с² - ускорение свободного падения. Эта формула приближенная, так как получена в предположении, что Т не зависит от h.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

где d - эффективный диаметр молекулы, п - число молекул в единице объема (концентрация молекул). Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени .

Масса, перенесенная за время при диффузии,

где -градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке , - коэффициент диффузии ( -средняя арифметическая скорость, - средняя длина свободного пробега молекул).

Сила внутреннего трения в газе:

где -градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке , -динамическая вязкость.

Количество теплоты, перенесенное за время вследствие теплопроводности, определяется формулой , где -градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке . -теплопроводность.

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

где - количество теплоты, полученное газом, -приращение внутренней энергии газа, d А=р d V - работа, совершаемая газом. Внутренняя энергия газа

где Т - термодинамическая температура. Работа, совершаемая газом, . Работа, совершаемая при изотермическом процессе,

Давление и объем газа связаны при адиабатическом процессе уравнением Пуассона = const, где показатель адиабаты = . Уравнение Пуассона может быть записано еще в таком виде: const.

Работа, совершаемая при адиабатическом процессе, может быть найдена по формуле

где и -давление и объем газа при температуре .

Уравнение политропического процесса имеет вид const, где - показатель политропы (0 < п < ).

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины

где Q₁- количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя. Q₂- количество теплоты, отданное холодильнику. Для цикла Карно

где и -термодинамические температуры нагревателя и холодильника. Разность энтропии S_В-S_A двух состояний В и А определяется формулой

Реальные газы

Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для одного моля газа имеет вид

где - молярный объем газа, а и b - постоянные, различные для разных газов, р - давление, Т - термодинамическая температура. R = 8,31411 Дж /(моль К) - газовая постоянная.

Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы т газа имеет вид

где -объем газа. М - молярная масса газа. В этом уравнении - давление, обусловленное силами взаимодействия молекул, - объем, связанный с собственным объемом молекул.

Постоянные а и Ь данного газа связаны с его критической температурой , критическим давлением р_к и критическим молярным объемом соотношениями

, , .

Эти уравнения можно решить относительно постоянных a и b:

Если ввести относительные величины то уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа примет вид