В задачах, в которых идет речь о физических явлениях, происходящих внутри ускоренно движущегося тела (вагона, лифта, куска металла и т.д.), решение, основанное на применении второго закона Ньютона, упрощается, если рассматривать явление в неинерциальной системе отсчета, связанной с ускоренно движущимся телом. Соответственно двум движениям тела - поступательному и вращательному -применяют как поступательно движущиеся, так и вращающиеся неинерциальные системы отсчета. Тогда для записи второго закона Ньютона водят силы инерции.
Существует другой способ объяснить поведение тела в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно (или вращающейся, если рассматриваемая материальная точка в ней покоится). При этом никаких сил инерции не вводят, но считают, что происходит изменение поля тяготения: ускорение силы тяжести изменяется по модулю и направлению.
Из двух рассмотренных методов второй гораздо быстрее приводит к цели в тех случаях, когда искомая величина определяется в неинерциальной системе отсчета какой-либо известной формулой, содержащей ускорение силы тяжести.
Примеры решения задач по механике
1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой 
. Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени 
Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность, Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения 
,направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения 
, направленного к Центру кривизны траектории:
. (1)
Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:
(2)
(3)
где 
- угловая скорость тела; 
- его угловое ускорение; r - расстояние точки от оси вращения. Подставляя выражения и в формулу (1). находим:
(4)
Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени: 
В момент времени t = 4 с угловая скорость, 
. Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени: 
Это выражение углового ускорения не содержит времени: следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.
Подставляя найденные значения и и заданное значение 
в формулу (4), получим: 
м/с2=1,65 м/с2.
Направление полного ускорения определится, если найти углы, которые вектор ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней (рис.1)
(5)
(6)
По формулам (2) и (3) найдем значения 
и 
: 
Подставляя эти значения и значение полного ускорения в формулы (5) и (6):
Пользуясь тригонометрическими таблицами, найдем значения искомых углов:
,
.
|
под углом 
к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упаяет на землю? Какое время t он будет в движении?
Найдем высоту h, на которую поднимется мяч, брошенный со скоростью 
под углом 
к горизонту. Имеем (рис 2)
(1)
(2)
В верхней точке 
, из (1) получим 
отсюда время подъема мяча 
. Подставляя 
в (2), получим
Найдем дальность полета l мяча. Имеем (рис 2)
(3)
(4)
Мяч упадет, на землю через время 
. Подставляя 
в (4), получим 
Время полета мяча
3. Колесо радиусом R= 10,0 см вращается с угловым ускорением =3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды. после начала движения: а) угловую скорость ; б) линейную скорость 
;в) тангенциальное ускорение ; г) нормальное ускорение ; д) полное ускорение 
; е) угол 
, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.
а) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость связана с временем t уравнением 
. По условию 
и тогда 
, т.е. угловая скорость растет пропорционально времени; при 
с имеем 
3,14-рад/с.
б) Так как 
, то линейная скорость также пропорциональна времени; с имеем = 0,314 м/с.
в) Тангенциальное ускорение 
не зависит от t т.е. постоянно во все время движения: при t = 1с имеем = 0,314 м/с2.
г) Нормальное ускорение 
, т.е. растет пропорционально квадрату времени; при t = 1с имеем 
м/с2.
д) Полное ускорение растет со временем по закону
при t = 1с имеем 
м/с2.
е) Имеем 
, где -угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент t = 0 имеем 
- полное ускорение направлено по касательной. При 
имеем 
(так как 
и пропорционально квадрату времени) - полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды 
и 
4. Какой- массы тх балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом т = 1600 кг, подъемная сипа аэростата F = 12,00 кН. Считать силу сопротивления Fconp воздуха одной и той же при подъеме и при спуске.
На опускающийся аэростат (с балластом) действуют подъемная сила F (вверх), сила сопротивления воздуха Fconp (вверх) и сила тяжести 
(вниз). Так как аэростат движется равномерно, то по первому закону Ньютона равно действующая сила равна нулю:
. (1)
Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься, вместо уравнения (1) будем иметь
; (2)
решая (1) и (2) совместно, получим 
= 800 кг.
5. Автомобиль массой т = 1020 кг. двигаясь равнозамедленно, останавливается через время 
= 5,00 с, пройдя путь s= 25.0 м. Найти начальную скорость автомобиля и силу торможения F.
Задачу можно решить двумя способами.
1). По второму закону Ньютона
F = т а, (1)
где F - сила торможения, т - масса автомобиля, а -его ускорение. Из уравнений кинематики равнопеременного движения получим
, (2)
км/ч. (3)
Подставляя (2) в (1), имеем
кН. (4)
2) Используем закон сохранения энергии. Убыль кинетической энергии равна работе силы торможения
(5)
Но из уравнений кинематики имеем 
. Подставляя (3) в (5), получим, как и раньше. 
.
6. На автомобиль массой т = 1 т во время движения действует сила трения 
равная 0,1 действующей, на него силы тяжести т 
. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.
а) Сила тяги, развиваемая мотором автомобиля, поднимающегося в гору. идет на преодоление силы трения и составляющей силы тяжести, параллельной перемещению: 
, причем 
. Таким образом, сила тяги F = т (k cos + sin ) = 1,37 кН.
б) Для автомобиля, движущегося под гору, сила тяги
F = т (k cos - sin ) = 0,59 кН.
Если сила трения меньше составляющей силы тяжести, параллельной перемещению, т.е. если k т g cos < т g sin , то F < 0. В этом случае, чтобы осуществить равномерное движение автомобиля поя гору, необходимо приложить задерживающую силу. При отсутствии этой сипы автомобиль будет двигаться под гору с ускорением 
(sin - k cos ).
7. На рельсах стоит платформа массой т1 = 10 т. На платформе закреплено орудие массой т 2 = 5т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда т 3=100 кг: его начальная скорость относительно орудия = 500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью 
= 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, ее движения; в) платформа двигалась со скоростью = 13.км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.
Согласно закону сохранения импульса
(скорость снаряда относительно Земли равна 
). Отсюда
Спроецировав векторы на ось х, совпадающей по направлению с вектором , получим
а) , а следовательно и 
, равна нулю; 
= -12 км/ч. Проекция и на ось х получилась отрицательной. Это означает, что вектора и и противоположны.
б) 
; их = 6 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении, но с меньшей скоростью.
в) 
; их =- 30 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении с большей скоростью.
8. Шар массой т1 =3 кг движется со скоростью = 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.
Первый шар до удара обладал кинетической энергией 
После удара шары начали двигаться с обшей скоростью 
Кинетическая энергия обоих шаров после удара стала 
Разность Е1-Е2. равна количеству теплоты Q, выделившейся при ударе:
Дж.
9. Найти первую космическую скорость 
, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве ее спутника.
Сила гравитационного взаимодействия между телом и Землей 
,где 
- масса Земли и -расстояние тела от центра Земли. У поверхности Земли равно радиусу Земли R и 
. Следовательно,
.
При движения тела вокруг Земли по орбите сила гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким образом, 
: отсюда первая космическая скорость 
м/с.
10. Найти линейные ускорения а центров шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости = 30°, начальная скорость всех тел = 0. Сравнить найденные ускорения сускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
При скатывании тела с наклонной плоскости его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом,
(1)
где J - момент инерции тела и m - его масса, Но
(2)
Подставляя (2) в (1), получим
(3)
Так как движение тел происходит под действием постоянной силы, то движение тел равноускоренное, поэтому
(4)
Решая (3) и (4) совместно, получим
(5)
Подставляя в (5) выражения для момента инерции различных тел, найдем для шара, диска и обруча соответственно
Для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости без трения, имеем 
11. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой 
= 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой п2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека = точечной массой.
На основании закона сохранения момента количества движения имеем
, (1)
где 
- момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю.
- момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре платформы, 
и 
угловые скорости платформ в первом и во втором положениях человека, При этом
(2)
где R - радиус платформы. Подставляя (2)в (1) и учитывая, что 
, где 
- частота вращения платформы, получим
откуда 
об/мин.
12. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой т = 20 г поднялась на высоту 
= 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на s = 10 см. Массой пружины пренебречь.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.
При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа А1,в результатечего пружина приобретает потенциальную энергию Т2. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию Т2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h. превращается в потенциальную энергию П2 пули.
Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать
. (1)
Выразим работу A 1. Сила 
, сжимающая пружину, является переменной - в каждый данный момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука
, (2)
где х - абсолютная деформация пружины.
Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой
,
или
.
Интегрируя в пределах от 0 до 
, получим
. (3)
Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле
, (4)
где g - ускорение свободного падения.
Подставив в (1) А1 по (3) и П2 по (4), найдем 
mgh, откуда
.
Проверим, дает ли полученная формула единицу измерения жесткости k. Для этого в правую часть формулы (5) вместо величин подставим единицы их измерения 
Теперь можем подставить в (5) числовые значения и произвести вычисления 
