Тема 1. Матрицы и определители

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Действия с матрицами. Транспонирование матриц. Квадратные матрицы. Определители квадратных матриц 2-го, 3-го и n-го порядков. Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятия минора n-го порядка матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы максимальном числе ее линейно-независимых строй (столбцов) 1([1или 6, § 1.1–1.6]; [2 или 7, § 1.1 – 1.4], или [3, § 1.1 – 1.11], или [4, § 1.1 – 1.11]).

Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц).

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА – матрицы разных размеров. Даже если А и В — квадратные матрицы, в общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой матрицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

Следует четко уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, или 6, или 3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять. Следует знать, что для существования матрицы А ^–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА ^–1 или А ^–1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то в соответствии с определением матрица А ^–1 вычислена правильно.

Ранг матрицы вводится в курсе как наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Например, ранг матрицы равен 1, т.е. , так как все миноры 2-го порядка , , равны нулю, а среди миноров 1-го порядка , , и т.д. есть отличные от нуля.

При этом надо учитывать, что введенный ранее и используемый в теореме Лапласа минор элемента квадратной матрицы n -го порядка есть минор (n –1)-го порядка данной матрицы.

В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу А приводят к ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А (см. [1, или 6, или 3, пример 1.13]).

Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк (или столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).