Функция не является обратимой, так как не является монотонной.

- 1

- 2

- 3

у = 0; = 0 - уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох

7. у > 0; у > 0.

8. Функция является ограниченной снизу, так как у > 0.

х

у

-1

х

у

-1

-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

(a - отрицательное нечетное число )

1. Область определения функции: .

2. Множество значений функции: , так как ;

.

Вывод: График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Функция является нечетной, так какее область определения симметрична относительно начала координат и для любого выполняется равенство . .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция является монотонной, так как убывает при .

5. Функция является обратимой, так как является монотонной.

6. у = 0; = 0 уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох.

х

у

7. у < 0; у > 0.

8. Функция является неограниченной сверху и снизу .

Упражнения:

1. Дана функция . Найти: f (0), f ( - 1), f (1), f ().

2. Найти область определения функции:

1) ; 2) ; 3) .

Квадратичная функция, ее свойства и графики

Определение: Функция вида , где a, b, c - действительные числа, причем а ¹ 0, называется квадратичной функцией.

Замечание: Графиком квадратичной функции является парабола, по-разному расположенная относительно координатных осей.

Частные случаи:

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

(b = 0, c = 0) (b = 0) (c = 0)

Общий случай: (b ¹ 0, c ¹ 0)

Область определения функции: Х = R.

Координаты вершины параболы А (т, п) определяются по формулам:

.

Множество значений функции: при а > 0 ;

при а < 0 .

Функция ни четная ни нечетная, так как .

.

х

у

т

п

т

п

т

т

п

п

у

х

Рис. 4 Рис. 5

а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0

Функция не монотонная:

при а > 0 у - убывает;

у - возрастает;

при а < 0 у - возрастает;

у - убывает.

Функция не обратимая, так как не монотонная.
Нули функции:

;

; х_1;2- нули функции;

; х - нуль функции;

; нулей функции нет.

Промежутки знакопостоянства:

х₁

х₂

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;

х₁

х₂

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;

При функция ограниченная снизу, так как при любом ; при функция ограниченная сверху, так как при любом .

7. Уравнения с одной переменной

7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если .

Обозначение: - модуль числа а.

Замечание:

1. Из определения следует, что при любом действительном а .

2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.

- 2

3,5

х

- 1

½ 2 ½

½- 2 ½

½ 3,5 ½

½ 0 ½

½- 2 ½= 2; ½ 2 ½= 2; ½ 3,5 ½= 3,5; ½ 0 ½= 0.

3. ½ b - а ½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b.

a

х

½ b ½

½ a ½

½ b - a ½

b

b

х

½ а ½

½ b ½

½ b - a ½

a

½ b - а ½= b - а, если b > а ½ b - а ½= а - b, если b < а

Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:

1. Раскрытие модуля по определению.

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

3. Разбиение на промежутки.

Пример:

1. .

Решение:

Так как при любом х , то уравнение решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

2. .

Решение:

Раскроем по определению:

Ответ: х₁= 4; х₂ = - 1.

Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п, то получится уравнение , равносильное данному.

3. .

Решение:

Если х+1 < 0, то уравнение корней не имеет, так как .

Если х+1 ≥ 0, то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

; ; ;

;

; ; ; .

Ответ: ; .

4. .

Решение:

, .

Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:

Û

Û Û ;

;

; ;

; .

Ответ: ; .

5. .

Решение:

1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0.

3 – х = 0 при х = 3.

х + 2 = 0 при х = – 2.

2) Числовая прямая разбивается на промежутки: .

Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:

r PK9fg7/cisynRo0+aqh85w5qDNOdx0EN17UQ0KF8DdNneZ56h6JjKDzjppd6PeIORSmCRo0+aqi0 7A5qDHOzx0EN35aoYZnarzFTr8nsqYzO15iPiBpKETRq9FHjSG4oj3uO7tcIAl/khprDkx3ar6H9 Gl/Cr6GSpH8vqMGyy/G6eJb7Kl5tT++j737HdfcF/K/+BwAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAQUuu m+AAAAAJAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF74L/YRnBm90kpTWN2ZRS1FMR2gri bZudJqHZ2ZDdJum/dzzpbea9x5tv8vVkWzFg7xtHCuJZBAKpdKahSsHn8e0pBeGDJqNbR6jghh7W xf1drjPjRtrjcAiV4BLymVZQh9BlUvqyRqv9zHVI7J1db3Xgta+k6fXI5baVSRQtpdUN8YVad7it sbwcrlbB+6jHzTx+HXaX8/b2fVx8fO1iVOrxYdq8gAg4hb8w/OIzOhTMdHJXMl60ClarOSdZf05A sL9MUx5OLCSLBGSRy/8fFD8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACU AQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAc/kE0WIJAADI XwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAQUuum+AA AAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAC8CwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAMkM AAAAAA== ">

3 – х

х

х +2

- 2

+

+

-

-

+

+

3 – х + + -

х +2 - + +

3) Решим уравнение на каждом промежутке:

При ; .

.

При ; .

.

При ; .

Ответ: .

Упражнения:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

7.2. Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.

Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.

Пример:

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ; .

Проверка:

х₁= 2; ; ;

х₂= - 2; ; .

Ответ: .

Решение:

Û ;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ; 5 - х = 25; х = - 20.

Проверка:

х = - 20; ; 7 = 7.

Ответ: х = - 20.

Решение:

Û Û ;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

; ; х₁= - 3; х₂= 5.

Проверка:

х₁= - 3; ; ; - не существует;

х₁= - 3 - не является корнем данного уравнения.

х₂= 5; ; 8 = 8.

Ответ: х = 5.

.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Умножим обе части уравнения на - 1: ;

;

; ; х₁= 10; х₂= 362.

Проверка:

х₁= 10; ; 8 = 8.

х₂= 362; ; 19 + 27 ¹ 8.

х₂= 362 - не является корнем данного иррационального уравнения.

Ответ: х = 10.

.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

; ;

;

; ; х₁= 2; х₂= .

Проверка:

х₁= 2; ; 3 + 4 = 7; 7 = 7.

х₂= ; ;

;

; ;