Четность, нечетность функций

Свойства степеней:

Четная степень отрицательного числа есть число положительное.

Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное.

Любая степень положительного числа есть число положительное.

4. 0 ⁿ = 0, nÎ N.

Длина радиуса данной окружности;

Температура кипения воды при постоянном давлении.

Замечание: Некоторые постоянные сохраняют свое числовое значение при любых условиях, их называют абсолютными постоянными.

Пример: Абсолютными постоянными величинами являются:

Сумма углов треугольника;

Скорость света в пустоте;

Количество секунд в минуте;

4. p = 3,14…;

5. е = 2,718281828459045….

Определение: Величина называется переменной, если она в условиях данного эксперимента может принимать различные значения.

Пример: Скорость камня, брошенного вверх, является переменной величиной.

В практических задачах часто рассматриваются переменные величины, которые связаны между собой так, что значения одной определяют значения другой.

Пример: Объем V шара радиуса R определяется по формуле .

; p – постоянные величины;

R – независимая переменная;

V – зависимая переменная.

Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент;

– зависимая переменная, значение функции;

Пример: V = f (R) – объем является функцией радиуса, то есть

Определение: Областью определения функции называются все значения аргумента x, при которых функция определена (то есть имеет числовое значение).

D (f) = Х – область определения функции.

Определение: Множеством значений функции называются все значения зависимой переменной y при x из области определения функции.

E (f) = У – множество значений функции.

Пример: Найти область определения функции:

1.

При любом действительном значении х функция у так же выражается действительным числом, следовательно, функция определена при любом значении . Следовательно, .

2.

Замечание: В результате экспериментального изучения какого-нибудь явления или процесса (испытание самолетов, моторов, урожайности семян) всегда устанавливается функциональная зависимость между переменными в виде таблицы.

2. Графический способ: функция задана с помощью графика.

Определение: Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Достоинства: наглядный способ.

Недостатки: небольшая точность при определении значений функции при данных значениях аргумента; ограниченность промежутка, на котором может быть построен график функции.

Замечание: Иногда табличный и графический способы задания функции являются единственно возможными, в других случаях используются как дополнительные. Метеорологи составляют таблицы выпавших осадков.В медицине о работе сердца судят по кардиограмме, которую создает прибор – кардиограф; вибратор регистрирует колебания различных сооружений (мостов, судов, зданий).

– выражение с переменной х.

Достоинства: значения функции могут быть вычислены для любого значения аргумента из области определения функции.

Недостатки: не является наглядным.

Замечание:

1. Для аналитически заданной функции иногда не задают область определения явно. В таком случае область определения функции совпадает с областью определения выражения .

1. Если функция задана формулой без указания области ее определения, то предполагается, что область определения этой функции – множество всех действительных чисел, кроме числа 3 (при х = 3 выражение не имеет смысла).

2. Различными функциями являются , х Î R, и , х Î N.

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику четной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2.

Так как любая пара точек и , принадлежащих графику четной функции, симметрична относительно оси ординат, следовательно, график любой четной функции симметричен относительно оси ординат (Рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2.

Пример: – четная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .

, (Рис. 2).

Определение: Функция называется нечетной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;

2)

для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику нечетной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2. Так как любая пара точек и , принадлежащих графику нечетной функции, симметрична относительно начала координат, следовательно, график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: – нечетная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .

Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (Рис. 1).

Определение: Функция называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. (Рис. 2)

Рис. 1. Рис. 2

Вывод: График возрастающей функции - восходящая кривая, график убывающей функции - нисходящая кривая при перемещении вдоль оси абсцисс в положительном направлении.

Определение: Функция только возрастающая или только убывающая на данном промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение: Функция называется обратимой (имеет обратную функцию), если она принимает каждое свое значение один раз.

Рис. 1: Рис. 2:

Вывод: Обратима только монотонная функция.

Пример: Найти функцию обратную функции . Построить графики взаимно обратных функций.

Решение:

1. Из формулы выразим х через у: ; ; .

В полученной формуле поменяем местами х и у: .

и - взаимно обратные функции.

2.

Построим графики взаимно обратных функций и :