Для решения задачи о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород, как и при решении задач по сопротивлению материалов, необходимо принять его расчетную схему, то есть определить, что собой представляет объект исследований с геометрической точки зрения: балка, пластина (плита), оболочка, его параметры в плане и по нормали, а следовательно определить тонкие они или толстые и с механической – однозначность или многозначность упругих параметров слоев, внешнюю нагрузку и граничные условия.
Как показывает опыт ликвидации очагов самонагревания и возгорания в выработанных пространствах, большинство из них находилось вблизи границы угля с выработанным пространством. Это обусловлено условиями зависания кровли, опирающейся двумя смежными сторонами на угольный массив - забой лавы и границу выемочного поля. В Украинском Донбассе максимальная длина зависания основной кровли в выемочных полях достигает 50…70 м. Для выбора расчетной схемы проведен анализ основных параметров и механических характеристик, составляющих массив кровли слоев пород, данные которых приведены в таблицах 5.1 и 5.2.
Таблица 5.1.
Принятые в расчетах параметры пород кровли очистной выработки
| Типы пород | Плотность, кг/м3 | Толщина, м |
| Уголь | 0,5…2,5 | |
| Алевролит | 0,5…20 | |
| Аргиллит | 0,5…20 | |
| Песчаник | 2600…2700 | 0,5…50 |
| Известняк | 2700…2800 | 0,5…15 |
Как следует из табл. 5.1 средняя толщина слоя пород кровли больше 1/15 ее минимального размера в плане, поэтому следует рассматривать кровлю в виде многослойной толстой пластины (плиты) с обязательным учетом поперечных деформаций сдвига по всей толщине. В качестве внешней нагрузки принят собственный вес кровли, равномерно распределенный в плоскости слоев.
 Пределы прочности при сдвиге
tсдв.×10-5,
Па
| 24¸100 | 230¸260 | 170¸230 | 180¸310 | 280¸480 | 210¸270 | ||||||
| Пределы прочности на растяжение, sр ×10-5,Па | sz | 2,5¸22,5 | - | 52,5 | 72,5 | 102¸230 | ||||||
| sx (sy) | 2,5¸22,5 | - | 44,3 | 83,0 | 102¸230 | |||||||
| Пределы прочности на сжатие, sсж ×10-5,Па | sz | 53¸ | 215¸ | 1330¸ | 104¸ | |||||||
| sx (sy) | 53¸ | 140¸ | 1380¸ | 1140¸ | ||||||||
| Коэффици-енты Пуассона | nz | 0,13¸ 0,16 | 0,29 | 0,22 | 0,36 | 0,19 | 0,30 | |||||
| nx (ny) | 0,17¸ 0,19 | 0,25 | 0,20 | 0,45 | 0,20 | 0,28 | ||||||
| Модули упругости, Е×10-10, Па | Ez | 0,06¸ 0,54 | 1,72 | 4,50¸ 5,00 | 1,73 | 2,64 | 7,25 | |||||
| Ex(Ey) | 0,04¸ 0,60 | 2,67 | 4,50¸ 5,00 | 1,93 | 3,83 | 6,36 | ||||||
| Типы пород | Уголь | Алевролит | Аргиллит | Песчаник (крупнозерн.) | Песчаник (мелкозерн.) | Известняк | ||||||
Широкий диапазон изменения механических характеристик: модулей упругости (Е) и коэффициентов Пуассона (n) для различных слоев (несмотря на то, что в отдельности каждый слой можно считать трансверсально изотропным, особенно при наличии в них трещин) определяет необходимость считать кровлю анизотропной.
Толщина слоев пород, а также кровли в целом может быть переменной и меняться по любому закону, причем два смежных ее края (защемленных) испытывают максимальные напряжения от изгиба и сдвига, а два других - максимальные перемещения (свободный край) и максимальные напряжения сдвига (свободная опора). Таким образом, в качестве обобщенной расчетной схемы рассмотрена многослойная анизотропная плита постоянной толщины (рис.5.1а), прямоугольная в плане, под действием равномерно распределенной нагрузки от собственной массы 
, при следующих граничных условиях: два смежных края, опирающиеся на угольный массив, жестко закреплены, два других свободны – полное обрушение (рис.5.1., б) или свободно-опертые – полная или частичная закладка выработанного пространства (рис. 5.1., в) с координатными осями: x и y, расположенными в срединной ее поверхности, а z - нормальной к ней.
Расчет напряженного состояния выполняли в два этапа. На первом этапе рассматривали сплошной массив горных пород, состоящий из разного сочетания количества и типов слоев с заданными для них механическими характеристиками.
При этом слои являются трансверсально изотропными, т.к. для осадочных горных пород, имеющих четко выраженную слоистость, плоскость напластования является плоскостью изотропии. Число упругих постоянных для каждого слоя равно пяти, а сами слои жестко связаны между собой так, что скольжение по контактным поверхностям невозможно.
Сравнением полученных значений напряжений для каждого слоя горных пород в различных направлениях с известными значениями предельных напряжений (табл.5.2) и при выполнении условия, что максимальные напряжения равны или превышают предельные, определяли места (зоны) образования трещин и направления их распространения.
На втором этапе, используя известные зависимости для определения механических характеристик трещиноватого слоя горных пород с учетом их количественных и качественных параметров, таких как частота и протяженность, ширина и конфигурация, характер поверхности трещин, число скальных контактов и т.п., определяли напряжения и расширенную область (места) образования трещин в горных породах. Этот процесс можно циклично продолжать дальше, но вышеуказанного вполне достаточно, чтобы провести качественную и количественную оценку образования и распространения трещин в кровле.
Рис.5.1. Схема для расчета напряженного состояния пород кровли очистной выработки: (а) – многослойная плита; (б) – граничные условия по контуру плиты типа «два края свободно-оперты, два – жестко защемлены»; (в) – «два смежных края свободны, два остальных – жестко закреплены»
