түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Теорема. 
-сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.
y = 
+ y *,
мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y * - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f (x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:
| f (x) | Сипаттамалық теңдеудің түбірлері | Дара шешімнің түрі |
| 1) eax Pn (x), мұндағы Pn (x) – n-дəрежелі берілген көпмүшелік | a саны – сипаттама теңдеудіңтүбірі емес a саны – сипаттама теңдеудіңr-еселі түбірі | y* = eax P*n (x) y ∗ = xr eaxP*n (x) |
| 2) eax [ Pn(x) cos bx + + Qm (x) sin bx ] | a ± bi сандар жұбы – сипаттама теңдеудіңтүбірі емес a ± bi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі | y* = eax [ P*k(x) cos bx + Q*k (x) sin bx ], мұндағы k =max(m,n) y* =xr eax [ P*k(x) cos bx + Q*k (x) sin bx ] мұндағы k =max(m,n) |
Мысал 1: y I V + 8 y ''+16 y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: y = + y *
1) =?
2) y *=?
f (x) = cosx Þ a ± bi = 0±1 i = i ≠ k1, k2,,k3,k4
y *=Acosx+Bsinx Þ (y *)¢= -Asinx+Bcosx Þ
(y *)¢¢= -Acosx-Bsinx Þ (y *)¢²= Asinx-Bcosx Þ (y *)iv= Acosx+Bsinx
Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:
Acos x +Bsin x +8(-Acos x -Bsin x)+16(Acos x +Bsin x)=cos x
A мен B мəндерін y *-ны анықтау өрнегіне қоямыз:
y *= 
cos x
Демек, y = + y *= (C1+xC3)cos2x+ (C2+xC4)sin2x + cos x
Мысал 2: 
теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: f1(x) + f2(x) = x + (- sin x).
1) 
2) 
түрінде іздейміз, мұндағы:
Þ 
Сонымен, 
3) f2 (x) функциясын келесі түрде ізделік: 
.
Þ 
Сонымен, 
болғандықтан 
Ізделінді дара шешім: 
Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:
Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап:
1) 2 y ′′ + y ′ − y = 2 ex Жауабы: y = С1 e − x + С2 ex/ 2 + ex
2) y ′′ + a 2 y = ex Жауабы: y = С1 cosax + С2 sinax + 
3) y ′′ − 7 y ′ + 6 y = sin x Жауабы: y = С1 e 6 x + С2 
4) y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 2 x 2 − x + 3 Жауабы: 
5) y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 2 x Жауабы: y = ex (( c 1 cos x + c 2 sin x )+ x )−1
6) y ′′ + 4 y ′ − 5 y = 1 Жауабы: y = С1 ex + С2 e -5x - 0,2
7) у" -2у ' +у= 
Жауабы:у=е х (С1+C2x-ln 
+x arctgx)
Й жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін анықта.
8) y "−3 y ′ + 2 y = f (x), мұнда f (x) келесі функциялар түрінде берілген:
а) 10 e − x
ə) 3 e 2 x
б) 2sin x
в) 2 x 3 − 30
г)2 ex cos 
д) x − e −2 x +1
е) ex (3 − 4 x)
ж) 3 x + 5sin 2 x
з) 2 ex − e −2 x
и) sin x sin2 x
к) shx
Жауаптары: y = C1 ex + C2 e 2 x + y *, мұнда y * тең:
а) 
e − x
ə) 3 xe 2 x
б) 
в) 
г) -8/5 +ex(cosx/2 +2sinx/2)
д) 
е) ex (2 x 2 + x)
ж) 
(9+3cos2x- sin2x)
з) -2 xex- 
e- 2 x
и) 
к) - e-x- 
xex
9) 2 y "+5 y ′ = f (x), егер f (x) тең:
а) 5 x 2 − 2 x −1
ə) ex
б) 29cos x
в) cos2 x
г) 0,1 e −2,5 x − 25sin 2,5 x
д) 29 x sin x
е) 100 x ⋅ e − x ⋅ cos x
ж) 3 сh 
x
Жауабы: y = C1 + C2 e- 5/2 x + y *, мұнда y * тең:
а) 
ə) 
ex
б)5sin x − 2cos x
в) 
г)cos2,5 x +sin2,5 x −0,02 xe −2,5 x
д) 
е) e − x [(10 x +18)sin x − (20 x +1)cos x ]
ж) 
Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес
