Анықтауыштың қасиеттері

1. Анықтауыштың барлық жатық жолдарын сәйкес тік жолдарымен орын алмастырғаннан оның мәні өзгермейді.

2. Анықтауыштың екі параллель жолын алмастырса оның мәні қарама-қарсы таңбаға өзгереді.

3. Анықтауыштың екі параллель жолының сәйкес элементтері тең немесе пропорционал (яғни, жолдары сызықты тәуелді болса) болса, онда ол нөлге тең.

4. Анықтауыштың жол элементтеріндегі ортақ көбейткішті оның таңбасының алдына шығаруға болады.

5. Анықтауыштың кез келген жолының әрбір элементі екі қосылғыштан тұрса, онда ол екі анықтауыштың қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сәйкес жолы бірінші қосылғыштардан, ол екінші анықтауыштың сәйкес жолы екінші қосылғыштардан тұрады да, екеуінің қалған жолдары бастапқы анықтауышпен бірдей болады.

6. Анықтауыштың кез келген жолының элементтеріне келесі бір параллель жолының элементтерін бір санына көбейтіп қосқаннан оның оның мәні өзгермейді.

7. Анықтауыштың мәні оның кез келген жол элементтерін сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанға тең:

Бұл қасиет анықтауышты жол элементтері бойынша жіктеп есептеу әдісі деп аталады.

8. Анықтауыштың кез келген жолының элементтерін басқа оған параллель жолдың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қоссақ, ол қосынды нөлге тең: , .

Мысалы, . Шынында да,

Матрица рангісі. матрицасының сандық сипатын қарастырайық. m және n сандарынан аспайтын натурал саны берілсін, яғни .

А матрицасының кез келген жатық жолы мен тік жолы элементтерінен құрылған анықтауышты сол матрицаның - ретті миноры деп атайды. Берілген ретті матрицадан - ретті - минор құруға болады, мұндағы .

Мысалы, 3-ретті матрицадан 1-ретті минор құруға болады, олар – матрицаның элементтері, ал 2-ретті минор, 3-ретті - минор (ол А матрицасының өзі) құруға болады.

Анықтама. А матрицасының рангісі деп оның нөлге тең емес минорларының ең үлкен ретін айтады. Және ол немесе деп белгіленеді.

Реті рангіні анықтайтын минор базистік минор деп аталады. Базистік минорлар бірнеше болуы мүмкін.

Сонымен, матрица рангісі базистік жатық (тік) жолдар санын анықтайды, ал қалған жатық (тік) жолдары осы базистік деп аталатын жатық (тік) жолдардың сызықтық комбинациялары болады.

Матрица рангін көмкеруші минорлар әдісімен және элементар түрлендіру (Гаусс әдісі) әдісімен табуға болады.

Көмкеруші минорлар әдісі. Бұл әдіс бойынша алдымен нөлге тең емес -ретті бір минорды тауып алып, содан кейін оны көмкеріп тұрған +1–ретті минорларды есептейміз. Егер олардың барлығы да нөлге тең болса, онда матрицаның рангісі -ге тең болғаны . Құрамында бұрынғы минор бар, реті одан бірге артық минорды көмкеруші минор дейді.

Элементар түрлендіру әдісі. Бұл әдіс бойынша элементар түрлендірулерді қолданып, кез келген нөлдік емес матрицаны трапеция пішіндес матрицаға келтіреміз. Ондай матрицаның рангісі оның нөлге тең емес жатық жолдарының санына, яғни -ге тең. Ендеше, берілген А матрицасының да рангісі -ге тең болады, өйткені элементар түрлендіруден матрицаның рангісі өзгермейді.

Бақылау сұрақтары:

1. Анықтауыштың қандай қасиеттері бар?

2. Матрица дегеніміз не? Оған қандай элементар түрлендірулер жасауға болады?

3. Алгебралық толықтауыш және минор дегеніміз не?

Негізгі әдебиет: [5], 1 тарау, § 1.1-1.15 (3-77 беттер).

Қосымша әдебиет: [17], 1 тарау, § 1.1, 1.2, 1.5, 1.7, 1.8 (3-14, 18-21, 26-38 беттер).