Властивості криволінійного інтеграла І роду

Криволінійні інтеграли.

Криволінійні інтеграли І роду

Криволінійні інтеграли І роду,
їх властивості та методи обчислення.

 

Задача, що приводить до поняття криволінійного інтеграла І роду – задача про масу дуги кривої неоднорідної щільності.

	Нехай на площині хОу задана кусково гладка крива АВ. У кожній її точці визначена та неперервна функція . Якщо висунути вимогу, що функція набуває тільки невід’ємних значень, тоді її можна інтерпретувати як
Рис. 1

функцію щільності (густини) кривої.

Поставимо задачу обчислення маси дуги кривої АВ.

Розіб’ємо дугу АВ на n частин точками:

 

.

 

Довжину кожної ділянки розбиття позначимо .

Тепер на кожній ділянці розбиття випадковим чином оберемо точки . Щільність кожної ділянки розбиття будемо вважати сталою величиною і рівною щільності у точці : . Тоді маса кожної ділянки розбиття наближено буде дорівнювати:

 

,

 

а маса всієї кривої буде дорівнювати:

 

.

(1)

 

Сума (1) є інтегральною для функції . Якщо кількість точок розбиття прямує до нескінченності: , а максимальна довжина ділянки розбиття , тоді інтегральна сума (1) має скінченну границю, яку називають криволінійним інтегралом першого роду і позначають так:

 

.

(2)

 

Можливі позначення криволінійного інтегралу І роду: та інші.

Зауваження. Якщо інтегрування відбувається по замкненому контуру, тоді криволінійного інтегралу І роду позначають .

Теорема про існування криволінійного інтегралу І роду. Якщо функція неперервна у кожній точці кусково гладкої кривої АВ, тоді криволінійний інтеграл І роду від функції по кривій АВ існує. Його значення (тобто значення границі (2)) не залежить ні від способу розбиття кривої АВ на ділянки, ні від способу вибору на них точок .

Зауваження. Фізичний зміст криволінійного інтеграла І роду полягає у тому, що його значення відповідає масі дуги кривої, по якій відбувається інтегрування, якщо під інтегральну функцію розглядати як щільність (густину) кривої.

	Геометричний зміст криволінійного інтеграла І роду полягає у тому, що його значення відповідає площі циліндричної поверхні, напрямна якої збігається з кривою АВ, а твірні паралельні Оz і мають довжину .
Рис. 2

 

Властивості криволінійного інтеграла І роду

 

1. Значення криволінійного інтегралу не залежить від напрямку обходу кривої, по якій виконується інтегрування:

 

.

 

Зауваження. Це єдина властивість криволінійного інтеграла І роду, яка відрізняється властивостей визначеного інтеграла. Вона пояснюється тим, що множник у формулі інтегральної суми (2) визначає довжину ділянки розбиття дуги, тобто завжди є додатним.

2. Постійний множник можна виносити за знак криволінійного інтеграла:

 

, де .

 

3. Криволінійний інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі(різниці) інтегралів від кожної функції окремо:

 

.

 

4. Якщо криву АВ розбито точкою С на дві дуги, тоді

 

.

 

5. Якщо в усіх точках кривої АВ виконується нерівність
, тоді

 

.

 

6. Криволінійний інтеграл І роду від одиниці дорівнює довжині дуги, по якій відбувається інтегрування:

 

.

7. Теорема про середнє значення функції на дузі АВ. Якщо функція неперервна на дузі кривої АВ, то на цій дузі знайдеться така точка , що виконується рівність:

 

.