Содержание
1. Общие вопросы моделирования. 3
1.1. Предмет теории моделирования. 3
1.2. Классификация моделей. 6
1.3. Классификация объектов моделирования. 9
1.4. Основные этапы моделирования. 10
2. Технология моделирования. 12
2.1. Создание концептуальной модели. 12
2.2. Подготовка исходных данных. 16
2.3. Разработка математической модели. 19
3. Математические схемы моделирования систем. 20
3.1. Основные подходы к построению математических моделей систем. 20
3.2. Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) 23
3.3. Дискретно-детерминированные модели (F -схемы) 24
4. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы) 28
4.1. Понятие случайного процесса. 29
4.1.1. Марковский случайный процесс. 29
4.1.2. Потоки событий. 30
4.1.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний. 32
4.2. Задачи теории массового обслуживания. 34
4.3. Классификация систем массового обслуживания. 34
4.4. Математические модели простейших систем массового обслуживания. 35
4.4.1. Одноканальная СМО с отказами. 35
4.4.2. Одноканальная СМО с ожиданием. 37
4.4.3. Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди 39
4.4.4. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга) 40
4.4.5. Многоканальная СМО с ожиданием. 43
4.4.6. Модель обслуживания машинного парка. 44
5. Сетевые модели (N -схемы). Сети Петри. 46
5.1. Теоретические основы сетей Петри: принципы построения, алгоритмы поведения 46
5.1.1. Введение в теорию комплектов. 47
5.1.2. Структура сети Петри. 48
5.1.3. Графы сетей Петри. 48
5.1.4. Маркировка сетей Петри. 50
5.1.5. Правила выполнения сетей Петри. 51
5.2. Сети Петри для моделирования систем: способы реализации. 52
5.2.1. События и условия. 52
5.2.2. Одновременность и конфликт. 53
6. Обобщенные модели (A -схемы) 55
6.1. Структура агрегативной системы.. 57
6.2. Кусочно-линейные агрегаты.. 60
7. Имитационное моделирование систем. 60
7.1. Процедура имитационного моделирования. 60
7.2. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования. 62
7.2.1. Алгоритм моделирования по принципу особых состояний. 62
7.2.2. Алгоритм моделирования по принципу D t 63
7.3. Этапы имитационного моделирования. 64
8. Статистическое моделирование приборных систем. 65
8.1. Теоретические основы метода статистического моделирования. 65
8.2. Моделирование случайных величин. 68
8.2.1. Табличный способ. 68
8.2.2. Аппаратный способ. 68
8.2.3. Алгоритмический способ. 69
8.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения 72
8.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины.. 72
8.3.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины.. 73
8.2.3. Разыгрывание случайной величины, распределенной нормально. 73
8.4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло. 75
Общие вопросы моделирования
Предмет теории моделирования
Моделирование – это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала.
В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров So и характеризуется определёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик Yo, система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий X.
Модель – это тоже система со своими множествами параметров Sm и характеристик Ym. Оригинал и модель сходны по одним параметрам и различны по другим. Замещение одного объекта другим правомерно, если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами:
, (1.1)
(1.2)
где ymk – k -ая характеристика модели, ymk Ì Ym; xmn – внешнее воздействие на модель, xmn Ì X; Tm – модельное время.
При этом Soi = y(Smi), xon = w(xmn), T = mTm (где m – масштабный коэффициент) на всём интервале [0; Tm ] или в отдельные периоды времени. Тогда с некоторым приближением можно сделать вывод о том, что характеристики оригинала связаны с характеристиками модели зависимостями yok = j(ymk). Множество характеристик модели Ymk = { ymk } является отображением множества интересующих характеристик оригинала Yok = { yok }, т.е. j: yok ® ymk или j: Yok ® Ymk.
При исследовании сложных естественных S, у которых известны Yok, но мало изучен состав элементов и принципы их взаимодействия, с помощью моделирования может решаться обратная задача. Строят предположительную модель, определяющую её характеристики Ymk при эквивалентных внешних воздействиях { xmn } (w: { xon } ® { xmn }) и, если оказывается, что имеет место отображение j: Yok ® Ymk с некоторой известной функцией j, то считается, что система-оригинал имеет такие же параметры.
Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.
Теория моделирования – взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.
Классификация видов моделирования систем приведена на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Классификация видов моделирования систем
Математическое моделирование – это построение и использование математических моделей для исследования поведения систем (объектов) в различных условиях, для получения (расчета) тех или иных характеристик оригинала без проведения измерений или с небольшим их количеством. В рамках математического моделирования сложились два подхода:
- аналитический;
- имитационный.
Аналитический подход основывается на построении формульных зависимостей, связывающих параметры и элементы системы. Однако при рассмотрении сложных систем строгие математические зависимости весьма сложны, требуется большое количество измерений для получения требуемых значений параметров.
Имитационный (статистический) подход в моделировании базируется на использовании предельной теоремы Чебышева при вероятностном представлении параметров системы. На основе предварительного изучения моделируемой системы определяются виды и значения законов распределения случайных величин параметров. В рамках имитационного подхода используются аналитические зависимости между параметрами элементов системы, однако эти зависимости имеют более обобщенный, упрощенный характер. Они значительно проще, нежели зависимости в рамках аналитического подхода.
Математическое моделирование систем, в том числе и приборных, имеет целью:
- оптимизацию структуры систем;
- выбор наиболее оптимальных режимов функционирования систем;
- определение требуемых характеристик аппаратурного оборудования и программного обеспечения.
Математическое моделирование технологических процессов, в том числе и информационных, имеет основными целями нахождение оптимальных или приемлемых характеристик самого объекта, нахождение оптимальных режимов обработки, обучение персонала, обеспечение определенных функций управления.
В любом случае моделирование должно отвечать следующим требованиям:
- модели должны быть адекватны соответствующим системам или технологическим задачам;
- должна обеспечиваться необходимая точность;
- должно обеспечиваться удобство работы пользователя – специалиста по технологии или по обработке информации (управлению);
- понятный интерфейс управления моделированием;
- достаточная скорость работы;
- наглядность результатов;
- приемлемая стоимость разработки и использования средств моделирования.
Классификация моделей
В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно разделить на две группы:
- материальные или физические (предметное моделирование);
- идеальные или абстрактные (абстрактное моделирование).
| Модели | ||||||
| ¯ | ¯ | |||||
| Материальные | Идеальные |
| Моделирование | ||||||
| ¯ | ¯ | |||||
| Предметное | Идеальное (абстрактное) | |||||
| ¯ | ¯ | ¯ | ¯ | |||
| Физическое | Аналоговое | Интуитивное | Знаковое |
Основные разновидности предметного моделирования:
- физическое моделирование;
- аналоговое моделирование.
Физическое моделирование (макетирование)
Физической моделью (ФМ) обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды ФМ:
- натуральные;
- квазинатуральные;
- масштабные;
- аналоговые.
Натуральные модели – это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригиналом, но дороги.
Квазинатуральные модели – совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (например, модель человека-оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, АСУ).
Масштабная модель – это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия, которая позволяет установить количественные отношения между свойствами модели и реального объекта; границы, в которых они сохраняются. При проектировании приборных систем масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.
Аналоговое моделирование
Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании приборных средств на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается, например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.
Используя эти соотношения, по зависимостям, обнаруженным в модели, строятся зависимости, справедливые для реального объекта. При физическом моделировании может использоваться не одна, а несколько моделей. Недостатками аналогового моделирования являются сложность создания модели и низкая точность результатов.
Идеальные модели – это абстрактные образы замещаемых объектов.
Два типа идеального моделирования:
- интуитивное;
- знаковое.
Интуитивное моделирование используется для отражения окружающего мира и предсказания его реакций. Как оно осуществляется – неизвестно.
Знаковое моделирование – это использование в качестве моделей знаков/символов: схемы; графики; чертежи; тексты на разных языках, включая математические формулы и теории, и т.п.
Математическое моделирование – наиболее важный вид знакового моделирования.
Математические модели. Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства – алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.
Математические модели можно классифицировать на детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.
Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения (1.2) в явном виде, используя известный математический аппарат.
Численная модель характеризуется зависимостью (1.2) такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.
Имитационная модель (ИМ) – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей используются вычислительные системы и средства, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследований на системном уровне.
Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида.
