Вращательное движение твердого тела.

Вращательное движение твердого тела. Вращательным называется движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.

При вращательном движении все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой осп.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось г две полуплоскости: полуплоскость I — неподвижную и полуплоскость II — связанную с твердым телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.4). Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться углом j между этими полуплоскостями, взятым с соответствующим знаком, который называется углом поворота тела.

Рис. 2.4

Будем считать j > 0. если вращение наблюдается с положительного направления оси z происходящим против часовой стрелки, и j < 0. если — по часовой. Измеряется угол j в радианах.

При вращении тела угол поворота j изменяется в зависимости от времени, т. е. является функцией времени t:

(2.15)

Это уравнение называется уравнением вращательного движения твердого тела.

Основными кинематическими характеристи­ками вращательного движения твердого тела явля­ются его угловая скорость w угловое ускорение e.

Если за время D t = t1 + t тело совершает пово­рот на Dj = j1 –j,то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет равна

(1.16)

Для определения значения угловой скорости тела в данный момент времени t найдем предел отношения приращения угла поворота Dj к промежутку времени D t при стремлении последнего к нулю:

(2.17)

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени. Знак угловой скорости w совпадает со знаком угла поворота тела j: w > 0 при j > 0, и наоборот, если j < 0. то и w < 0. Размерность угловой скорости обычно 1/с, так радиан величина безразмерная.

Угловую скорость можно изобразить в виде вектора w, численная величина которого равна dj/dt который направлен вдоль оси вращения тела в ту строну, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки.

Изменение угловой скорости тела с течением времени характеризует угловое ускорение e. По аналогии с нахождением среднего значения угловой скорости найдем выражение для определения значения среднего ускорения:

(2.18)

Тогда ускорение твердого тела в данный момент времени определится из выражения

(2.19)

т. е. угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой произ­водной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Размерность углового ускорения 1/с².

Угловое ускорение твердого тела так же, как и угловая скорость, может быть представлено как вектор. Вектор углового ускорения совпадает по на­правлению с вектором угловой скорости при ускоренном движении твердого юла и направлен в противоположную сторону при замедленном движении.

Установив характеристики движения твердого тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек. Рассмотрим некоторую точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения г (рис. 2.3).

При вращении тела точка М будет описывать окружное п. радиусом h с центром на оси вращения и лежащую в плоскости, перпендикулярной этой оси. Если за время dtпроисходит элементарный попорот тела па угол dj, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение dS = h*dj ,. Тогда скорость точки М определился из выражения

(2.20)

Скорость называют линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, линейная скорость точки вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Так как для всех точек тела угловая скорость w; имеет одинаковое значение, то из формулы для линейной скорости следует, что ли­нейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Линейная скорость точки твердого тела является вектором п направлена по касательной к окружности, описываемой точкой М.

Бели расстояние от оси вращения твердого пела до некоторой точки М рассматривать как радиус-вектор h точки М, то вектор линейной скорости точки v можно представить как векторное произведение вектора угловой скорости w радиус-вектор h:

V = w * h (2/21)

Действительно, результатом векторного произведения (2.21) является вектор, равный по модулю произведению w*h и направленный (рис. 2.5) перпендикулярно плоскости, в которой лежат два сомножителя, в ту сторону, откуда ближайшее совмещение первого сомножителя со вторым наблюдается происходящим против часовой стрелки, т. е. по касательной к траектории движения точки M.

Таким образом вектор, являющийся результатом векторного произведе­ния (2.21), по модулю и по направлению соответствует вектору линейной скорости точки M.

Рис. 2.5

Для нахождения выражения для ускорения а точки М выполним дифференцирование по времени выражения (2.21) для скорости точки

(2.22)

Учитывая, что dj/dt=e, a dh/dt = v, выражение (2.22) запишем в виде

(2.23)

где а_г и аnсоответственно касательная и нормальная составляющие полного ускорения точки тела при вращательном движении, определяемые из выражений

(2,24)

Касательная составляющая полного ускорения точки тела (касательное ускорение) atхарактеризует изменение вектора скорости по модулю и направ­лена по касательной к траектории движения точки тела в направлении вектора скорости при ускоренном движении либо в противоположном направлении при замедленном движении. Модуль вектора касательного ускорения точки тела при вращательном движении твердого тела определяется выражением

(2,25)

Нормальная составляющая полного ускорения (нормальное ускорение) а„ возникает вследствие изменения направления вектора скорости точки при крашении твердого тела. Как следует из выражения (2.24) для нормального ускорения, это ускорение направлено по радиусу hк центру окружности, по которой перемещается точка. Модуль вектора нормального ускорения точки при вращательном движении твердого тела определяется с учетом (2.20) вы­ражением

(2.26)