Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения позволяют выразить соотношения между изменениями физических величин, поэтому они имеют большое значение в приложениях. Дифференциальные уравнения подразделяют на линейные и нелинейные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

 

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения используют для создания динамических моделей физико-химических процессов, воспроизводящих поведение процессов во времени. Такие модели дают возможность прогнозировать будущее состояние процесса, определять оптимальные траектории его протекания, а следовательно, и пути повышения производительности или экономичности. Дифференциальные уравнения позволяют рассчитывать управляющие воздействия для регулирования технологического процесса в САУ и АСУ. Особенно широкие возможности открываются для использования дифференциальных уравнений при автоматизации процессов с применением ЭВМ. Обыкновенные дифференциальные уравнения используются при описании технологических процессов с сосредоточенными параметрами. Например, дифференциальное уравнение для определения концентрации реагентов системы с сосредоточенными параметрами (ванна плавильной печи) имеет вид

 

 

Во многих реальных системах наряду с изменением параметров во времени происходит их существенное изменение в пространстве. Для моделирования таких объектов, называемых системами с распределенными параметрами, применяются дифференциальные уравнения в частных производных.

Линейное уравнение с частными производными второго порядка в случае двух переменных записывается следующим образом:

 

В зависимости от знака дискриминанта уравнение (3.1) относят к уравнениям эллиптического типа при D > 0, параболического типа при

D = 0 и гиперболического типа при D < 0. Если уравнение (3.1) меняет тип от точки к точке, его называют уравнением смешанного типа.

В уравнении (3.1) переменные х и у являются независимыми технологическими параметрами процесса (концентрация, вес, температура, производительность); u – скорость изменения выходного параметра во времени; А, В,

С – коэффициенты.

К системам с распределенными параметрами прежде всего относятся так называемые сплошные среды. Математические модели процессов, происходящих в газах, жидкостях и твердых телах (движения, теплопереноса, диффузии), обычно строятся в предположении, что вещество сплошь заполняет занимаемый им объем, т.е. оно находится в каждой точке объема. Это допущение вполне обосновано с физической точки зрения, поскольку межмолекулярные расстояния внутри вещества столь ничтожны по сравнению с размерами рассматриваемого объема и масштабами моделируемых явлений, что ими можно пренебречь без особого ущерба для качества моделей.

Математические модели сплошной среды строятся на основе общих физических законов, в частности законов сохранения массы, количества движения, энергии и др.

Металлургические процессы, как правило, протекают при очень высокой температуре и сопровождаются интенсивным теплообменом. Поэтому изучение и моделирование процессов теплопереноса играет очень существенную роль в металлургической практике.

Рассмотрим в качестве примера математической модели такого процесса задачу об остывании неограниченной плоской пластины, если на ее поверхности происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю. Процесс остывания описывается уравнением теплопроводности

 

Таким образом, модель процесса остывания пластины представляет собой краевую задачу для уравнения параболического типа.

Моделирование технологических процессов с помощью дифференциальных уравнений сводится, как правило, к решению систем уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций.

Метод аналогий

Операции в аналогово-вычислительных машинах – АВМ (вычислительных машинах специального назначения) осуществляются с непрерывно изменяющимися физическими величинами, например напряжением постоянного тока. Принцип действия АВМ является наглядным примером математического подобия, вытекающего из единства природы и проявляющегося в том, что разные по физической природе процессы и явления могут описываться одинаковыми по форме дифференциальными и другими уравнениями.

Так, закон Фурье связывает тепловой поток gТ с изменением температуры T:

 

 

где λ – коэффициент теплопроводности; х – направление переноса.

Закон Фика отражает перенос вещества gС в связи с изменением его концентрации C:

 

 

здесь D – коэффициент диффузии.

Закон Ома описывает зависимость силы тока i от напряжения u:

 

 

где ρ – электропроводность.

Сравнение показывает, что все три уравнения подобны в смысле математического описания. Для модельного эксперимента наиболее удобна третья зависимость, поскольку все входящие в нее параметры легко поддаются измерению. Поэтому данный принцип был положен в основу построения АВМ.

АВМ – это устройство, состоящее из элементов, которые будучи соединены соответствующим образом, представляют сложную систему, подобную в определенном смысле исходной сложной системе, взятой в качестве

объекта для моделирования.

Различают два подхода к моделированию, а в связи с этим и два типа АВМ. В первом случае моделируются по операциям математические уравнения, подлежащие решению, т.е. в основу берется математическое подобие уравнений, при этом в АВМ имеется набор операционных блоков (умножения на постоянный коэффициент, суммирования, интегрирования), соединяя которые определенным образом, можно получить схему, описываемую таким же по форме дифференциальным уравнением, что и исходное. Измеряя непрерывно изменяющуюся величину, например напряжение, на выходе соответствующего операционного блока, получают решение исходного уравнения. Критериальное соотношение между коэффициентами исходного уравнения и машинного находится в соответствии с теоремой подобия.

Во втором случае в основу закладывается физическая природа задачи, исследуемая система моделируется по ее отдельным составным частям. Здесь наиболее последовательно используются принципы моделирования методом поэлементной прямой аналогии. Например, модель для исследования режимов работы электрической системы на постоянном или переменном токе.