Лекция 1. Введение в моделирование
План лекции
1. Объект моделирования.
2. Основные понятия и определения.
3. Классификация процессов как объектов моделирования.
4. Постановка задачи моделирования в общем виде.
Объект моделирования
Объектом называется все, на что направлена человеческая деятельность. Выработка методологии управления объектами ориентирована на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.
Научно-техническое развитие в любой области обычно идет по следующему пути: сначала ведутся наблюдения и ставятся эксперименты, затем выполняются теоретические исследования и, наконец, осуществляется организация производственных процессов. Такой подход дает возможность получить целостное представление об объекте моделирования и выработать рекомендации по управлению технологической системой, позволяющие оптимизировать технологический процесс.
Основные понятия и определения
В наиболее общем смысле теория математического моделирования (ММ) и оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценки возможных вариантов. Например, необходимо построить цех по производству никеля. Это может быть реализовано путем строительства как электропечей, так и печей жидкой ванны (ПЖВ) различной мощности. Задача заключается в выборе еще на стадии проектирования наилучшего варианта из возможных. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, т.к. позволяет, с одной стороны, проектировать новые более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.
В теории моделирования и оптимизации нашли широкое применение следующие понятия.
Определение 1.1. Гипотезой называется определенное предсказание, основывающееся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений.
Так, небольшое количество экспериментальных данных, полученных на промышленных рудно-термических печах (РТП), позволяет предположить возможность использования напряженности магнитного поля Н м, наведенного с наружной стороны электропечи, для контроля уровня расплавов в ней. При формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения может быть использована аналогия.
Определение 1.2. Аналогией называется суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов.
Причем такое сходство может быть существенным и несущественным. В частности, в качестве аналогии можно рассмотреть дуговые электропечи для плавки черных металлов и электрокорунда. Данные печи обладают тем частным свойством, что для плавления шихты в них используется электрическая дуга трехфазного тока. Гипотезы и аналогии должны обладать наглядностью и сводиться к удобным для исследования логическим схемам или моделям.
Определение 1.3. Строго говоря, моделью называется записанная на определенном языке (естественном, математическом и др.) совокупность знаний, представлений и гипотез об объекте или явлении. Соответственно, моделирование – это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели.
В качестве модели можно рассмотреть «холодную» модель электролизера, в которой вместо расплава электролита используют раствор электролита. Такие модели с успехом применяют для исследования электрических ре- жимов электролизеров, а также токораспределения в ванне электролизера или рудно-термической электропечи.
Определение 1.4. Адекватность модели объекту есть показатель того, что результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.
Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Учитывая заложенную при создании неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель принципиально невозможна.
Место и роль математического моделирования в задачах исследования, проектирования и оптимизации технологических систем
Для изучения и оптимизации существующих и проектирования вновь разрабатываемых технологических систем их необходимо представить в виде, удобном для исследования. С этой целью техническую систему упрощают. Такую систему (или ее часть), называемую системой автоматического управления (СУ), можно представить состоящей из двух частей: объекта управления (ОУ) и устройства управления (УУ) (рис. 1.1, а). На рис. 1.1, б представлен пример системы управления процессом плавки в РТП.
Рис. 1.1. Структурная схема системы автоматического моделирования
а – в общем виде; б – система автоматического управления электрическим режимом РТП
Здесь ТПН – это тиристорный преобразователь напряжения; ПА – перемещение электрода; x (t) – входное воздействие; y (t) – выход системы, ОУ; U ус(t) – управляющее воздействие; f (t) – случайные возмущения; РТП – рудно-термическая печь; Т шл (t) – температура шлака; t ок.воз – случайное возмущение температуры окружающего воздуха.
Под ОУ применительно к задачам инженерии подразумевается техническое устройство, процессом y (t) на выходе которого надлежит управлять, УУ обобщает все входящие в контур СУ элементы, используемые с целью организации процесса управления. На вход системы управления подается воздействие x (t), определяющее желаемый характер управляемого процесса y (t), УУ на основании информации о процессах x (t) и y (t), а в ряде случаев и на основании данных о возмущениях f (t), рассчитывает управляющее воздействие U (t) на объект с целью приведения процесса y (t) в соответствие с сигналом x (t).
Для решения большинства задач анализа и синтеза СУ необходимо иметь математическую модель ОУ. Построение математической модели заключается в установлении ряда соотношений, позволяющих при каждых входных воздействиях и начальных состояниях найти сигнал на выходе ОУ. Обычно модель получают как математическую формулировку физических законов, которым подчинена работа ОУ. В общем случае ОУ является многомерным и имеет l управляемых процессов – у 1(t), у 2(t), …, уl (t), m управляющих воздействий – u 1(t), u 2(t), …, um (t), k внешних возмущений – f 1(t), f 2(t),…, fk (t) (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Структурная схема управления объектом моделирования
Математическая запись физических законов, определяющих свойства непрерывного объекта, в большинстве случаев может быть представлена как система нелинейных дифференциальных уравнений, связывающих входные и выходные процессы и их производные:
При l = 1 объект называют одномерным.
Если функции Φ i являются линейными относительно управляемых и управляющих процессов и их производных, то объект называют линейным по управлению, аналогично линейным по возмущению.
Математическая модель (1.1) в современной теории оптимальных и адаптивных систем получила ограниченное распространение. Гораздо чаще дифференциальные уравнения (1.1) n -го порядка представляют в виде системы из nl дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.
