Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).
Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть хо. Проведя несколько раз измерения, вместо хо получаем набор значений х1, х2, … хi, … xn. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение хо, но можем найти, с какой вероятностью Р величина хо окажется в любом интервале значений а<xo<b. Область значений а<xo<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения
(1.4)
и равна
. (1.5)
Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx - малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, á x ñ – их среднее арифметическое, а 
среднее квадратичное отклонение
, (1.6)
. (1.7)
Рис. 1.1.
Как видно из рисунка, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины – áxñ и шириной 2σ – расстоянием между точками перегиба. Значение áxñ обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).
Следует подчеркнуть, что áxñ – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой áxñ не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 2σ – 0,955.
Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал Sáxñ, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.
Стандартный доверительный интервал или среднеквадратичная ошибка среднего согласно выводам математической статистики убывает пропорционально 
и определяется формулой:
. (1.8)
Таблица 1.1
Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)
| P N | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 0,95 | 0,999 |
| 0,82 | 1,3 | 2,9 | 4,3 | 31,6 | |
| 0,74 | 1,2 | 2,1 | 2,8 | 8,6 | |
| 0,72 | 1,1 | 1,9 | 2,4 | 6,0 | |
| 0,70 | 1,1 | 1,8 | 2,3 | 4,8 | |
| 0,69 | 1,1 | 1,7 | 2,1 | 3,9 | |
| 0,67 | 1,0 | 1,6 | 2,0 | 3,3 |
Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента.
Δхсл.= t (P,n) . Sáxñ. (1.9)
