Задача 10:. Как изменилась покупательная способность населения?

Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?

Решение:

Товар подешевел на 20%.Следовательно, весь ранее купленный товар можно было бы купить истратив 80% денег, а на оставшиеся 20% можно купить еще часть товара, что составляет 25%.

Ответ: на 25%

Задача 11: Сушеные грибы. Влажность свежих грибов - 99%, сушёных - 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?

Решение:

Пусть вес свежих грибов 100 х кг, тогда вес сухого вещества в них х кг. После подсушивания, вес сухого вещества не изменился и стал составлять 2% (на одну пятидесятую) от веса грибов. Вес сухих грибов – 50 х кг, а значит уменьшился в два раза.

Ответ: уменьшился в два раза.

Задача 12: На конференции. 85% делегатов конференции знают английский язык, а 75% - испанский. Какая часть делегатов знает оба языка?

Решение:

Заметим, что 85%+75% = 160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет кого образовался излишек? За счет тех людей, которые знают оба языка - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60% делегатов конференции.

Ответ: не менее 60%.

Задача 13: На туристском слете собрались все участники двух туристических походов (некоторые были в двух походах, некоторые только в одном). В первом походе было 60% мужчин, во втором - 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.

Решение:

Пусть в первый поход ходило а человек, а во второй b человек. Тогда, в первый поход ходило 0,6 а мужчин и 0,4 а женщин, а во второй - 0,75 b мужчин и 0,25 b женщин. При этом, количество женщин не превышает 0,4 а + 0,25 b, а количество мужчин не меньше, чем наибольшее из чисел 0,6 а и 0,75 b. Пусть 0,6 а >0,75 b. Тогда 0,6 а >0,4 а +0,25 b (так как 0,2 а >0,25 b). Случай, когда наибольшее - 0,75 b, разбирается аналогично

Задача 14: Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы держание соли составляло 2%?

Решение:

. В 40 кг морской воды содержится 40·0,05 = 2(кг) соли, что в новом растворе составляет 2%, следовательно, раствора должно быть 2:0,02 = 100 (кг).

Ответ: следует добавить 60 кг пресной воды.

Задача 15: Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.

Решение:

.Пусть х - число участников кружка, а у - число девочек. Тогда, согласно условиям задачи, 0,09 x > y или 9 х >100 у, где х и у - натуральные числа. Решая задачу перебором, убедимся, что наименьшее возможное решение при у =2 достигается при х =23. Таким образом, в кружке не менее 23 человек.

Ответ: в кружке не менее 23 человек.

Задача 16: Объём строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?

Решение:

1) 100% + 80% = 180 = 1,8 (объём строительных работ по сравнению с первоначальным).

2) 100% + 20% = 120 = 1,2 – производительность труда по сравнению с первоначальной.

3) 1,8: 1,2 = 1,5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих.

Ответ: на 50%

Задача 17: В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна?

Решение:

1) 100% - 60% = 40% = 0,4 – такую часть составляет оставшийся приток воды.

2) 1: 0,4 = 2,5 (раза) – во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т.е. увеличится на 150%

Ответ: на 150%.

Задача 18: Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?

Решение:

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15% - 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12: 0,85 14,1 кг, т.е. на 4,1:10 = 0,41 = 41% больше, чем прежде.

Ответ: на 41%.

Задача 19: На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75 % больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?

Решение:

1) 40% + 36% = 76% - составляют женщины и дети.

2) 100% - 76% = 24% - составляют мужчины.

3) 24% + 24% = 42% - составляют мужчины на вечернем концерте.

4) 40% - 40% = 10% - составляют школьники на вечернем концерте.

5) 36% + 36% = 49,5% - составляют женщины на вечернем концерте.

6) 42% + 49,5% + 10% = 101,5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т.е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.

Ответ: на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем на 1,5%.

Задача 20: 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение:

1) 5 · 0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок.

2) 4 · 0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.

3) 1,75 + 0,8 = 2,55 (л) жира в смеси.

4) 5 + 4 + 1 = 10 (л) – вес смеси.

5) 2,55: 10 = 0,255 = 25,5% - жирность смеси.

Ответ: 25,5%.

Задача 21: Когда 40 рабочих цехавключились в молодёжную бригаду, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?

Решение:

1) 250% - 100% = 150% - на столько процентов увеличится продукция.

2) 40 рабочих увеличивают продукцию на 20%

х рабочих увеличивают продукцию на 150%

3) рабочих увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.

4) 300: 0,6 = 500 рабочих было в цехе.

5) 500 рабочих – увеличение на у %

300 рабочих – увеличение на 150%

у = 250%

6) 250% + 100% = 350%, т.е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

Ответ: 500 рабочих, продукция увеличилась бы в 3,5 раза.

Задача 22: Цена за вход на стадион 150 руб. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько рублей понижена плата?

Решение:

Входная плата за двух человек была 300 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 300 + 75 = 375 рублей (общий сбор увеличился на 25%), т.е. один билет стоит теперь 125 руб. (375: 3), значит, плата понижена на 25 руб.

Ответ: на 25 рублей.

Задача 23: За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за 2, 3 и 4 кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во 2 квартале завод дал продукции в раза больше, чем в первом.

Решение:

2: 3: 4 = 6,5: 7,8: 9,1 = 5: 6: 7

1) 26% = 32,5% годового плана дал завод во втором квартале.

2) 32,5%: 5 = 6,5% приходится на 1 часть.

3) 6,5% · 6 = 39% дал завод в 3 квартале.

4) 6,5% · 7 = 45,5% дол завод в 4 квартале.

5) 26% + 32,5% + 39% + 45,5% = 143% годового плана фактически выполнил завод, т.е перевыполнил план на 43%.

Ответ: на 43%.

Задача 24:. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий r % меди?

Решение:

Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то

(кг меди) + (кг цинка),

В получающемся сплаве будет

(кг меди),

а вес этого сплава будет равен (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве по определению будет равна

Согласно условию задачи, полученная дробь равняется . Приходим к уравнению

(1)

Повторим ещё раз, в чем состоял способ решения этой задачи. С помощью известных значений концентраций мы «расщепили» сплав на чистые компоненты, а затем, в соответствии с условием задачи, составили новый сплав, подсчитав отдельно весовой баланс каждой компоненты.

Решим полученное уравнение. В этом уравнении два неизвестных, х и у. Поэтому оба неизвестных найти нельзя. Но в этом и нет необходимости, так как достаточно определить не сами величины х и у, а их отношение!

После очевидных преобразований из уравнения (1) получим соотношение

(2)

Рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть р = r = q, x · 0 = у · 0.

В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение (2) показывает, что имеется бесконечное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.

2. Пусть , x · 0 = у (r – q), х – любое, у = 0.

Смысл этого решения понятен — второго сплава вообще не требуется.

3. Пусть , . Тогда

Полученное отношение будет давать решение задачи в общем случае (разумеется, если значение r заключено между значениями р и q, иначе окажется отрицательной величиной, что лишено смысла).

Ответ:

Задача 25: Определить процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании пяти литров 20 %-го и шести литров 35 %-го растворов спирта.

Решение:

Количество «чистого» спирта в первом растворе равно 0,2 · 5 л, а во втором растворе — 0,35 · 6 л. При смешивании общее количество спирта не изменилось (а объём нового раствора равен 5 + 6 = 11 л). Поэтому можно записать уравнение для объёмной концентрации х спирта в полученном растворе

0,2 · 5 + 0,35 · 6 = х · 11,

откуда . Процентное содержание равно или %.

Ответ: %.

Задача 26: От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих m и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весили отрезанные куски?

Решение:

Обозначим через р и q — концентрации меди в первом и во втором кусках соответственно, а через х — вес каждого отрезанного куска. Тогда в остатке первого куска содержится (т — х) р кг меди, в остатке второго куска содержится (п — x) q кг меди. После того, как куски снова сплавили, в первом куске оказалось (m — x)p + xq кг меди, а во втором (п — x)q + xp кг меди. Приравнивая концентрации меди в обоих кусках, получим уравнение

или

тпр — хп(р — q) = mnq + xm(p — q),

или

тп(р -q) = х(р - q)(m + п).

По условию задачи , следовательно,

Ответ:

Задача 27: В сосуде объёмом V содержится р %-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Определить концентрацию соли в растворе после п процедур.

Решение:

Первоначальное количество соли в растворе равно . После того, как вылили а л смеси, соли осталось

а её концентрация после добавления а л воды стала равна

После того, как отлили ещё а л смеси (уже концентрации c ₁), в растворе осталось соли

а её концентрация после добавления воды стала равна

Теперь не составляет труда заметить, что после п переливаний концентрация соли в растворе будет определяться формулой

(3)

Ответ:

Задача 28: Концентрация соли уменьшилась в пять раз после 10 переливаний (рассмотренных в предыдущем примере). Какую часть объёма V сосуда составляют а л?

Решение:

Воспользовавшись формулой (3), запишем условие задачи в виде уравнения

откуда находим

Ответ:

Задача 29: Сберкасса выплачивает ежегодно 3% от положенного на сберегательную книжку вклада. Через сколько лет текущая сумма будет превышать первоначальную более чем в 2 раза?

Решение:

Пусть начальная величина вклада составляет А рублей. Согласно условию задачи запишем уравнение

откуда получаем

Следует отметить, что величина х является иррациональным числом. Но в условии задачи речь идёт о целом числе лет, поэтому, чтобы записать ответ, требуется найти наименьшее натуральное п такое, что

Ответ: Через 23 года.

Задача 30: В течение трёх лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем в течение двух лет в результате инфляции нёс убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она (по отношению к первоначальному вкладу)?

Решение:

1) Пусть исходная процентная ставка равна х%.

2) Используем формулу сложных процентов, которая позволяет вычислить, каким станет первоначальный вклад а через п лет при проценте прибыли р %. Этот результат равен

3) Тогда через три года сумма вкладчика будет равна . Так как в течение следующих двух лет вклад уменьшался на , то по истечении пяти лет сумма будет такой:

4) Рассмотрим функцию = , где . Исследуем её на наибольшее значение.

Критические точки: х = -100 (не входит в область определения), х = 200, х = 80.

; ;

5) Таким образом прибыль составляет 109,953%

Ответ: 109,953%

Задача 31:. Курс рубля по отношению к доллару (то есть цена одного рубля в долларах) падает на 4% в квартал. У клиента банка есть два альтернативных варианта помещения денег. По первому варианту он может положить деньги на рублевый чет с начислением 120% в конце года. По второму варианту он может обменять рубли на доллары и положить деньги нa валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы. На сколько процентов больше или меньше окажется рублевый счет по отношению к валютному через год? При расчетах считать одинаковыми обменные курсы покупки и продажи доллара. (Ответ представить в виде арифметического выражения.)

Решение:

1) Пусть клиент имел а рублей, которые он положил на рублевый счет. Тогда через год у него на счету окажется 2,2 а рублей.

2) Если он обменяет а рублей на b долларов, то в конце года у него на счету окажется , т.е. .

3) Поскольку курс рубля по отношению к доллару падает на 4% в квартал, то рублевая сумма будет представлена так:

4) Сравним увеличение вкладов в рублях и долларах.

Следовательно, сумма в долларах увеличилась на 101,2%

5) Следовательно сумма в рублях увеличилась на 86,9%

6) 101,2 – 86,9 = 14,3%

Ответ: 14,3%

Задача 32:Маклер после одной удачной сделки имел некоторый процент прибыли от вложенного исходного капитала, а затем понес такой же процент убытков со всего, что заимел. После третьей (также неудачной) сделки процент убытков возрос в 4 раза по отношению к проценту прибыли после первого года. При каком исходном проценте такая деятельность маклера приведет к наибольшим возможным долгам и каковы они по отношению к первоначальному капиталу?

Решение:

1) Пусть исходный процент прибыли составляет х%.

2) Тогда, если исходный капитал составлял а единиц, то после первого года сумма стала равна .

3) После тех же процентов убытков сумма стала равна

4) После третьей сделки сумма стала равна

5) Рассмотрим функцию и найдём её наименьшее значение при .

Найдём критические точки.

; х = -50 (не входит в область определения).

- точка минимума. В этой точке функция принимает наименьшее значение.

6) Таким образом, долги маклера составляют первоначальной суммы. Найдём долги в процентах: а – 100%;

;

Ответ: 93,83%

Задача 33: Зарплата рабочего за месяц составила 8000 рублей. 20% из этой суммы ушло на оплату коммунальных платежей. 5% оставшейся суммы ушло на оплату долга. Сколько денег осталось после этого у рабочего?

Решение:

1) На оплату коммунальных платежей ушло денег:

(руб.)

2) Осталось денег: 8000 – 1600 = 6400 (руб.)

3) На оплату долга ушло 5% от 6400, или

(руб.)

4) После этого осталось денег: 6400 – 320 = 6080 (руб.)

Ответ: 6080 рублей

Задача 34: В двух ёмкостях разного объема содержатся смеси двух веществ: А и В. Вещество В занимает в первой и второй ёмкостях соответственно 70% и 60% от объема. Вес вещества А емкости совпадает с весом вещества В во второй, а вес вещества А во второй ёмкости в 3,5 раза больше веса вещества В в первой ёмкости. Какой процент по весу составляет вещество А, содержащееся в обеих ёмкостях, от суммарного веса содержимого ёмкостей?

Решение:

1) Пусть х – объём первой ёмкости, а у – объём второй ёмкости, а U и V – плотности веществ соответственно.

2) Тогда вес вещества А в первой ёмкости составить , а вес вещества В там же - .

3) Аналогично во второй ёмкости содержится (по весу) вещества А и вещества В.

4) Требование задачи приводит к системе уравнений (1) – (2)

5) В задаче требуется найти величину

которая после деления числителя и знаменателя на примет вид

и для её нахождения из системы надо найти величины .

6) А) для нахождения величины можно разделить левую часть (1) на левую часть (2), и также поступить с правыми частями.

Получим

(второе значение противоречит физическому смыслу величины).

Б) Для нахождения величины разделим левую часть (1) на правую часть (2), а правую часть (1) на левую часть (2), получим соотношение

7) Подставляя найденные величины в выражение для Т, окончательно получим

Ответ:

Задача 35: Имеется 3 слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержащейся в нём меди.

Решение:

Прежде всего следует предложить учащимся представить условие задачи в виде таблицы:

№ слитка	Вес слитка, кг	Содержание меди, %	Содержание меди, кг


	х	у

4столбик заполняется после введения двух неизвестных:

х кг – вес третьего слитка;

у % - процентное содержание меди в третьем слитке.

Исходя из этого заполняется последняя строчка в 4-м столбике. Запишем, используя понятие пробы, систему двух уравнение с двумя неизвестными:

Решая её получим: х = 10, у = 69.

Ответ: вес третьего слитка – 10 кг, процентное содержание в нём меди – 69%.

Задача 36: Сколько серебра 500 и 800 пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г. серебра 720 пробы?

Решение:

Способ

х г – вес первого сплава,

у г – вес второго сплава,

х + у = 225 (1)

Для составления второго уравнения целесообразно воспользоваться определением пробы:

Тогда

Получаем следующую систему уравнений:

Решая её, находим: х = 60, у = 165

2 способ:

При помощи рассуждений.

Предполагаем, что в сплав мы взяли только серебро 500 пробы. Тогда в 225 г сплава чистого серебра будет 162 г, что на 49,5 г меньше требующегося количества. Эта разница получилась из-за того, что не был учтен сплав серебра 800 пробы.

В самом деле, в каждом грамме сплава 800 пробы содержится 0,8 г чистого серебра, а в каждом грамме сплава 500 пробы содержится 0,5 г чистого серебра. Следовательно, взяв только сплав 500 пробы, мы с каждого грамма серебра 800 пробы не учли 0,8 -0,5 = 0,3 г чистого серебра,

Таким образом, при получении 225 г сплава 720 пробы не было учтено 49,5: 0,3 = 165 (г) серебра 800 пробы. Итак, для составления сплава, требующегося в задаче, надо взять серебра 800 пробы 165 г, а серебра 500 пробы – 60 г.

Ответ: 165 г, 60 г.

Задача 37: Имеется три сплава. Первый сплав содержит 10% кобальта и 90% железа, второй – 40% железа и 60% никеля, третий – 20% кобальта, 50 % железа и 30% никеля. Из этих сплавов необходимо создать новый сплав, содержащий 20% никеля. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание железа может быть в новом сплаве?

Решение:

Пусть х + у + z – масса нового сплава.

; .

Подсчитаем значения на границах

При z = 0

При y = 0

Так как производная функции отрицательна, то функция монотонно убывает в области и наибольшее значение достигается при , что соответствует , а наименьшее значение при , что соответствует значению .

; ; ;

Ответ: ;

Задача 38: Через 40 минут после выезда из пункта А автомобиль уменьшил скорость на 20% и через некоторое время прибыл в пункт В. При этом оказалось, что на вторую половину пути он затратил на 5 минут больше, чем на первую. За какое время автомобиль проехал путь от А до В?

Решение. Пусть S (км) - расстояние АB, v (км/ч) – начальная скорость автомобиля. Тогда автомобиль проехал расстояние (км) и уменьшил скорость до 0,8 . Для вычисления времени, затраченного на первую и на вторую половину пути, необходимо рассматривать два случая.

1) Изменение скорости произошло на первой половине пути, т.е. . Тогда из условия задачи получаем уравнение:

Это уравнение решений не имеет, то есть этот случай не может реализоваться.

2) Изменение скорости произошло на второй половине пути, то есть . Тогда из условия задачи получим уравнение в виде

Решая это линейное относительно уравнение, после очевидных вычислений получим , что подходит по условию рассмотрения этого случая .

Так как время движения по первой половине пути (час), а время движения на второй половине пути по условию больше на (час), то всё время движения

(час) = 65 (мин)

Ответ 65 минут.

Задача 39: Имеются слитки трёх типов. Один слиток первого типа весит 5 кг и содержит 30% меди, 20% серебра и 50% золота. Один слиток второго типа весит 2 кг и содержит 40% меди, 30% серебра и 30% золота, а один слиток третьего типа имеет массу 1 кг и содержит 50% меди, 20% серебра и 30% золота. Какое минимальное количество слитков каждого типа потребуется, чтобы, не разрезая их, получить сплав, содержащий 37% меди, 23% серебра и 40% золота?

Решение:

Составим таблицу, в которую внесем концентрации компонентов в слитках, массы слитков и количество слитков, необходимое для получения сплава нужного состава.

			масса	Кол-во
0,3	0,2	0,5		k
0,4	0,3	0,3		l
0,5	0,2	0,3		m
0,37	0,23	0,4

Полная масса нового сплава равна 5 k + 2 l + т. Составим уравнения материального баланса

Cu:

Ag:

Au:

Упрощая которые получим:

Видно, что третье уравнение является суммой двух первых, так что независимых уравнений всего два. Из двух последних уравнений исключим k и получим , откуда , m = 4t, где . Подставляя в последнее уравнение, найдем

k: k = 2t. Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Ответ: Наименьшие значения достигаются при t = 1: k = 2, 1 = 3. т = 4.

Задача 40: Партия телевизоров проходит испытание на долговечность. После первого года работы отказало 15 телевизоров, а после второго – ещё 4. сколько телевизоров было исправно после первого года работы, если известно, что отношение числа телевизоров, исправных к концу второго года, к числу телевизоров, исправных к началу года, на 8,75% больше, чем такое отношение, составленное для первого года испытаний?

Решение:

Обозначив через х число телевизоров, исправных после первого года работы, записать условие задачи в виде

Далее получить уравнение:

, откуда , .

Ответ: 120 телевизоров.

Задача 41: В первом сосуде содержится 5 кг, во втором – 10 кг 5%-го раствора соли. Из каждого сосуда выпарили часть воды, после чего концентрация соли в первом сосуде составила , во втором - . Известно, что . Какое наибольшее и какое наименьшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?

Решение:

Количество испарившейся воды

;

(max)

М (5) = 8; М (25) = 4;

Ответ: кг; кг.

Заключение.

В данном пособии изложены некоторые понятия теории процентов. Приведены типовые задачи по данной теме. К задачам даны решения. Эта система подобранных упражнений даёт возможность творчески подходить к повторению темы «Текстовые задачи на проценты».

Умение учащихся находить процент от числа, изменение величины в процентах, число по его проценту и т.д. позволяет усложнить текстовые задачи, что развивает логическое мышление.

В результате применения данной системы упражнений по данной теме повышается интерес к математике, увеличивается скорость вычислительных навыков на проценты. Уменьшается количество ошибок при решении сложных задач на проценты. Идёт более глубокое усвоение знаний по теме «Проценты».

Список использованной литературы

Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. Саратов, изд. «Лицей», 2001.
Вступительные экзамены по математике в Уральском университете в 1991 году. Екатеринбург, 1992.
Вступительные экзамены по математике в Уральском Государственном университете в 2000 году. Екатеринбург, изд.Уральского университета, 2000.
Задачи с параметрами. Текстовые задачи. Пособие для поступающих в УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 1998
Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад. М.,Просвещение, 1971.
Математика. Варианты билетов вступительных экзаменов в УГТУ. Решения и ответы. Екатеринбург, 1999, 2000, 2001.
Назаретов А.П. Конкурсные задачи по математике для поступающих в ВУЗы. М.,2001
Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. М., 1995.
Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. Математика 5-6 класс. Уроки математического мышления. М., 1998.
Чекмарев Я.Ф. Методика преподавания арифметики в 5 и 6 классах. М.,Просвещение, 1965.
Роль задач в формировании математических знаний и развитии учащихся. Учебное пособие. Екатеринбург, 1993.
Черкасов О., Якушев А. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. М., 2002.