Вращательный эффект пары сил характеризуется величиной, называемой моментом пары.
Отсюда следует следующее правило (без вывода):
Пары сил могут быть преобразованы путем изменения величин и направлений сил и изменения плеча пары. Если при этом алгебраический момент пары сохраняется, то оказываемый ею на тело вращательный эффект не изменится, или пары сил с равными алгебраическими моментами эквивалентны.
Алгебраический момент пары сил (обозначается M( F 1, F 2 ) 
) равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:
| M=± F·d. | (1.10) |
Рис.1.14
Правило знаков моментов пар сил аналогично правилу для моментов сил: момент считается положительным, если силы пары стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным - по ходу часовой стрелки.
Для показанных на рис.1.14 пар сил (
, ') и (
, ') их моменты имеют противоположные знаки: M 1 =P·d 1; M2=-Q·d 2.
Поскольку действие пары сил на тело полностью характеризуется её моментом, на рисунках пару сил принято изображать дуговой стрелкой, показывающей направление действия момента (рис.1.14).
Теорема о сумме моментов сил пары
Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости её действия, не зависит от выбора центра и равна моменту пары.
Рис.1.15
Докажем это (рис.1.15). Имеем пару сил (
1; 2), момент которой равен М=F 1 × d= F 2 × d. Найдем моменты относительно точки О1 силы 
и силы 
, а затем сумму моментов этих сил.
М 0 ()= -F 1 × а;
М 0 ()= F 2 × (d+ a).
Так как F 1 = F 2, то:
М 0 ()+М 0 ()= - F 1 × а + F 2 × (d+ a)= F 2 × d = М,
т.е. моменту пары сил. Окончательно:
| М 0 ()+М 0 () = М.
| (1.11) |
Полученная оценка не зависит от местонахождения центра (точки О). Таким образом, теорема доказана.
Следствие
Пары сил могут быть перемещены в любое место абсолютно твердого тела, при этом оказываемый ими вращательный эффект на тело не изменится. [6]
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое «пара сил»?
2. Что значит «плечо пары»?
3. Как определяется алгебраический момент пары и его знак?
Операции с силами в пространственной (трехмерной) статике
Проекция силы на плоскость
Рис.1.16
Проекцией силы 
на плоскость 0xy называется вектор XY, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.
В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость является векторной величиной и характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости 0xy (рис.16).
По модулю F XY = F·cosq, где q - угол между векторами и XY.
Проекция силы на плоскость используется, например, для нахождения проекций силы на оси, лежащие в этой плоскости (см. рис.1.16):
| FX= FXY· cosj = F·cosq cosj; FY = FXY· sinj = F·cosq · sinj; FZ= F·sinq. | (1.12) |
Здесь же написана формула и для проекции силы на ось 0z.
Векторный момент силы
Определим радиус - вектор 
как вектор, соединяющий начало координат (т. О) и некую точку в пространстве, например, точку приложения силы (т.А).
Рис.1.17
Векторный момент силы есть векторное произведение радиус – вектора точки приложения силы на вектор силы.
 0()   r ´ F.
| (1.13) |
Модуль (величина) векторного момента силы определяется выражением:
ç 0()ç= M 0(F) =  = F× h,
| (1.14) |
или равен произведению модуля силы F на её плечо h, равное расстоянию от точки 0 до линии действия силы. Здесь:
· h = ОС - плечо силы - длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы ;
· 
- угол между векторами и .
Вектор 0() направлен в соответствии с правилом векторного произведения, или правилом «правого винта».
Правило правого винта:
Первый по упоминанию вектор ( ) кратчайшим путем поворачивают в сторону второго ( ), задавая тем самым плоскость и направление вращения головки правого винта; вектор векторного произведения ( 0() ) ориентирован по направлениюперемещения тела правого винта перпендикулярно плоскости его вращения.
Вектор 0 считается приложенным к точке 0 и перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ, в которой лежат векторы 
и . При этом он направлен в сторону, с которой кратчайший поворот (на угол, меньший 180°) вектора к вектору (если его мысленно приложить к точке 0; см. рис.1.17) виден происходящим против хода часовой стрелки, то есть по правилу правого винта.
Модуль момента равен произведению модуля силы F на её плечо h, равное расстоянию от точки 0 до линии действия силы:
| M0() = F·h
| (1.15) |
Момент силы измеряется в системе единиц СИ в ньютон - метрах (Н·м).
Момент силы относительно точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль её линии действия.
Момент силы относительно точки 0 равен нулю (M 0() = 0), если:
· сила равна нулю (F = 0);
- линия действия силы проходит через точку 0 (плечо h = 0).
Рис.1.18
Векторный момент силы можно описать с помощью аппарата векторной алгебры, в соответствии с которым силу необходимо задать своими проекциями F X, F Y, F Z на оси координат и указать координаты x,y,z точки приложения этой силы (т.А). Векторный момент силы относительно начала координат 0 определяется аналитически следующим образом:
0() =  =MX ()· +MY () · + MZ ()·  ,
| (1.16) |
где , , - орты координатных осей 0x, 0y, 0z, а проекции момента 0() (рис.1.18) вычисляются по следующим формулам:
| M X () = y F Z - z F Y,
M Y () = z F X - x F Z,
MZ () = x FY - y FX.
| (1.17) |
Замечание: Проекции M X(), M Y(), M Z() по определению – это моменты сил относительно координатных осей 0x, 0y, 0z (или осевые моменты).
Модуль M 0() векторного момента вычисляется по формуле:
M 0 () =  .
| (1.18) |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Определите, что такое векторный момент силы?
2. Сформулируйте правило правого винта.
3. Как определяется осевые моменты силы?
Осевой момент силы
Рис.1.19
Моментом силы относительно оси, или осевым моментом силы называется скалярная величина, равная проекции на эту ось векторного момента силы.
Из этого определения следует, что аналитическое вычисление моментов силы относительно координатных осей 0x, 0y, 0z можно выполнять по формулам расчета проекций векторного момента этой силы.
Момент силы относительно оси может определяться геометрически (рис.1.19).
Сформулируем, опустив доказательство, этот метод оценки осевого момента силы:
Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Например, для оси 0z:
| M Z () = ± F XY× h
| (1.19) |
Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело против хода часовой стрелки, глядя с положительного направления оси.
Например, момент силы на рис.19 относительно оси 0z равен произведению модуля её проекции | XY| на плоскость 0xy на плечо h этой проекции относительно точки 0, взятое со знаком плюс: M Z () = + F XY× h.
Осевой момент силы равен нулю (M Z () = 0), если:
- сила параллельна оси (равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси F XY = 0);
- линия действия силы пересекает ось (линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, также пересекает эту ось и плечо этой проекции равно нулю: h = 0).
Объединяя эти два случая, можно сказать: осевой момент силы равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Как оценивается величина осевого момента силы?
2. Как определяется знак осевого момента силы?
3. Величина h – это расстояние между линией действия силы и осью?
Векторный момент пары сил
Рис.1.20
Момент пары сил (обозначается M (F, F’) 
) - определяется как векторный момент одной силы пары относительно точки приложения другой:
 =  .
| (1.20) |
В соответствии с определением операции векторного произведения вектор момента пары ориентирован перпендикулярно плоскости действия пары. Учитывая, что 
, и используя правило правого винта, легко увидеть (рис.1.20), что оба приведенные в определяющей формуле векторных произведения приводят к одному и тому же результату. Момент пары сил направлен ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, в соответствии с правилом правого винта, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки. Его модуль:
| M = F·d, | (1.21) |
где d - плечо пары, равен по величине площади параллелограмма, построенного на векторах пары.
Пара сил полностью характеризуется своим моментом.
Так же, как и в плоской статике, в пространственной статике действует теорема о сумме моментов сил пары.
Теорема о сумме моментов сил пары
