Ближняя и дальняя зоны дифракции

Дифракция возникает при любом локальном изменении волнового фронта, амплитудном или фазовом. Подобные изменения могут вызываться присутствием непрозрачных или частично прозрачных преград на пути волны (экранов), или участков среды с иным показателем преломления (фазовых пластинок). Характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра (число зон Френеля укладывающихся в отверстии препятствия радиуса ). Из формулы (4.3) следует, что число зон при равно:

(7.1)

где - размер неоднородности, вызвавшей дифракцию, - длина волны, и обозначено - расстояние, по порядку величины равное расстоянию от неоднородности до точки наблюдения. Легко показать, что для плоской гармонической волны когда , случай наиболее часто используемый на практике, , и формулу (7.1) можно переписать в виде:

(7.2)

Если параметр много меньше единицы, наблюдается дифракция Фраунгофера, если он порядка единицы — дифракция Френеля; наконец, если этот параметр много больше единицы, оказывается применимым приближение геометрической оптики. Для удобства сопоставления представим сказанное в следующем виде:

 

(7.3)

 

Несмотря на то, что явление дифракции в оптике имеет место всегда, для наблюдения дифракции требуется постановка специальных экспериментов, в которых реализуется условие ~ 1 ÷ 10.

Рассмотрим теперь, как меняется интенсивность света на оси отверстия по мере увеличения расстояния от экрана с отверстием. Зафиксируем радиус отверстия . По мере удаления от отверстия число зон Френеля на отверстии уменьшается (), а интенсивность в центре экрана осциллирует: при нечётном числе открытых зон - увеличивается при чётном - уменьшается, пока наконец, в пределах отверстия не останется одна первая зона Френеля. В этот момент интенсивность света в точке наблюдения достигает максимума (рис. 7.1), после чего монотонно убывает с ростом расстояния .

Расстояние между отверстием и экраном , при котором радиус первой зоной Френеля совпадает с радиусом отверстие , называют дифракционной длиной светового пучка или дистанцией Релея.

Из формулы (4.5) следует, что:

(7.4)

Дифракционная длина определяет границу между двумя различными видами дифракции: дифракция в ближней зоне (или дифракция Френеля) и дифракция в дальней зоне (дифракция Фраунгофера) для заданного радиуса отверстия .

Дифракционная длина связана с числом зон Френеля. Из сравнения формулы (7.4) и формулы (4.5) видно, что

. (7.5)

Отсюда и следует соотношения (7.3), когда , а когда .

Зона, для которой , называется ближней зоной дифракции. В ближней зоне световой пучок сохраняет структуру, заданную формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерноравна интенсивности исходной световой волны.

Рис. 7.1. Зависимость интенсивности света на оси отверстия от расстояния до экрана. - дифракционная длина светового пучка (дистанция Релея)

 

Для точек ближней зоны в пределах отверстия помещается множество зон Френеля, и поперечный профиль пучка поддерживается постоянным за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля и его можно считать параллельным.

Зона, для которой называется дальней зоной дифракции. В этой зоне интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности исходной волны, и при больших значениях интенсивность слабо зависит от .

В дальней зоне световой пучок расширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается только центральная часть первой полуволновой зоны Френеля. Интерференция элементарных вторичных волн выражена слабее. Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, поэтому пучок становится расходящимся. Характер изменения поперечного размера светового пучка в процессе дифракции показан на рис. 7.2.

 

Рис. 7.2. Дифракция светового пучка и угол дифракционной расходимости .

Оценим дифракционную Расходимость пучка (рис.7.3), исходя из представлений об интерференции элементарных вторичных волн. Полагая, что положение границы светового пучка определяется деструктивной интерференцией лучей, приходящих от противоположных границ отверстия, т.е. условием , где — разность хода.

 

Рис. 7.3. К расчету дифракционной расходимости светового пучка.

 

Из рисунка видно, что , где - диаметр отверстия. Как правило, дифракционная расходимость невелика ( <<1), поэтому можно приближенно записать , откуда следует, что

. (7.6)

Таким образом, дифракционная расходимость светового пучка в дальней зонеопределяется отношением длины волны к начальному диаметру пучка : дифракционная расходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер.Диаметр пучка в дальней зоне выражается формулой , — расстояние, отсчитываемое вдоль пучка от экрана с отверстием. Оценим дифракционную длину и угловую расходимость для пучка гелий - неонового лазера: для = 2 мм, = 0,6 мкм получим = 1,5 м, = 3 10^-3 рад.

Из всего сказанного в этом разделе следует, что результат дифракции монохроматического излучения на каком-либо препятствии зависит не от абсолютных его размеров, а от числа перекрываемых им полуволновых зон.

При (порядка нескольких сотен или тысяч открытых зон) дифракционные эффекты незначительны и распределение интенсивности приближенно описывается законами геометрический оптики (плоскость 1 на рис. 7.4).

 

Рис.7.4. Дифракционные распределения интенсивности света на различных
расстояниях от круглого отверстия.

 

Промежуточное условие (когда открыты единицы или десятки зон) соответствует дифракции Френеля и приводит к сложному распределению интенсивности, когда в центре картины может наблюдаться и минимум, и максимум (плоскости 2, 3 и 4 на рис. 7.4 и рис. 7.1 – ближняя зона).

При перекрывается малая часть первой зоны и возникает важный для практики случай - дифракция Фраунгофера или дифракции в дальней зоне (плоскости 6 и 7 на рис. 7.4 и рис.7.2 – дальняя зона). Условной границей между двумя видами дифракции считают дистанцию Рэлея , соответствующую расстоянию, на котором круглое отверстие диаметра , освещенное плоской монохроматической волной, открывает для центральной точки наблюдения одну первую зону ().

 

 

Дифракция Френеля

Дифракция Френеля или дифракция в ближней зоне — это дифракция сферических волн, осуществляемая в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию. Поверхность волнового фронта на препятствии при дифракции Френеля случае представляет собой участок сферы. Выясним характер дифракционной картины для экрана с отверстием радиусом , при условии и . Из формулы (3.5) и графического анализа с помощью спирали Френеля, следует, что результирующая амплитуда световой волны осциллирует в зависимости от числа зон участвующих в формировании дифракционной картины. Если расстояния и удовлетворяют условию

, (4.3)

где - целое число, то отверстие оставит открытым равно первых зон Френеля. Поэтому вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда света в центре экрана, согласно (3.5) будет равна:

, (3.5)

где знак «плюс» для случая, когда отверстие открывает нечётное число m число зон Френеля, знак «минус» - для чётного m.

При неизменном , но при изменении радиуса отверстия , дифракционная картина будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых колец, причём в центре будет светлое пятно, если отверстие открывает нечётное число зон, и тёмное пятно, если m – чётное (рис. 8.1)

Аналогичная дифракционная картина наблюдается при неизменном , но при изменении расстояния . При изменении расстояния , значение становится то чётным то нечётными, поэтому максимумы и минимумы интенсивность света в центре дифракционной картины будет чередоваться.

 

Рис. 8.1. Зависимость относительной амплитуды света в центре дифракционной картины от радиуса отверстия, r _{1; 2; 3} - радиусы френелевских зон.

 

На рис. 8.2 показаны дифракционные картины Френеля, возникающие при дифракции на круглом отверстиипо мере приближения к экрану с отверстием. Интенсивность в центре картины осциллирует, при чётных значениях числа зон Френеля в центре наблюдается тёмное пятно, при нечётных – светлое.

 

 

Рис. 8.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии при изменении расстояния b. Число открытых полуволновых зон Френеля увеличивается с право на слева от 2 до 6. Размер картины увеличивается, приближаясь к диаметру отверстия

 

При дифракции Френеля на щели также наблюдаются осцилляции интенсивности света в центра дифракционной картины.

На рис. 8.3 показаны картины дифракции света на длинной щели при изменении её ширины.

 

 

 

Рис. 8.3. Дифракция Френеля на одномерной вертикальной щели по мере её расширения (cправа налево). Вертикальный размер дифракционной картины определяется диаметром светового пучка.

 

Начальная ширина щели соответствует примерно одной открытой полуволновой зоне Френеля, конечная - пяти открытым зонам. Вертикальный размер картины определяется диаметром пучка, падающего на щель.