Содержание лекции: Отображения пространств. Линейные отображения, линейные преобразования линейных пространств, матрица преобразования. Характеристические корни матрицы преобразования. Собственные числа и собственные векторы линейных преобразований.
Операции над линейными преобразованиями. Свойства операций.
Свойства собственных значений и собственных векторов. Ортогональные и симметрические преобразования. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.
Отображения, линейные отображения. Примеры.
Основополагающее понятие математического анализа – понятие функции – определяется как соответствие между числовыми множествами Х и У: каждому значению х ÎХ по определенному закону ставится в соответствие единственное значение у ÎУ. Очевидно, в этом определении природа множеств Х и У не играет существенной роли. Это позволяет обобщить понятие функции на случай произвольных множеств. В этом случае вместо термина «функция» употребляется термин «отображение» или «оператор». Здесь мы рассмотрим понятие отображения множеств, являющихся линейными пространствами.
Определение 1
Пусть L и К линейные пространства размерности п и т соответственно. Говорят, что задано отображение 
линейного пространства L в пространство К, или оператор, переводящий L в К, если задан закон, по которому каждому вектору х ÎL поставлен в соответствие единственный вектор у ÎК. Обозначают
: L ® К, или L 
К.
При этом вектор у называют образом вектора х при отображении 
и обозначают 
, а вектор х называют прообразом вектора у. Совокупность всех прообразов (множество L) называют областью определения отображения , а совокупность образов (множество К или его подмножество) называют областью значений этого отображения. Пространство К, в частности, может совпадать с пространством L.
Рассмотрим примеры отображений.
I. Отображение : М2 ® М1´2 такое, что для вектора х = 
ÎМ2 образ имеет вид у = 
= 
ÎМ1´2.
II. Оператор : V3® R такой, что "` х Î V3 = 
.
III. Отображение : R2®R2 такое, что вектору х = [ х 1, х 2]ÎR2 ставится в соответствие вектор у = = 
.
IV. Отображение :L ® L, при котором образом каждого вектора пространства L является сам этот вектор. Такой отображение называется тождественным или единичным и обозначается 
. Таким образом, " х Î L 
.
V. Оператор : L ® К такой, что каждому вектору из L ставит в соответствие нулевой вектор из К. Этот оператор называется нулевым оператором и обозначаетсяO. Таким образом, " х Î L O х = 0, где 0 – нулевой вектор пространства К.
Определение 2
Оператор (отображение) : L ® К называется линейным, если для любых х 1, х 2ÎL и любого aÎR выполняются условия линейности:
1) (х 1+ х 2) = х 1 + х 2, 2) (a х 1) = a х 1.
Чтобы выяснить, является ли заданный оператор линейным, необходимо проверить выполнение обоих условий линейности.
Пример 1
Проверить линейность оператора:
: V3® R, если " `а Î V3 
= 
.
Пусть `а 1, `а 2 – произвольные векторы пространства V3, заданные в базисе 
своими координатами: `а 1= 
, `а 2 = 
.
Тогда
`а 1 + `а 2 = + = 
,
= a = 
.
Отсюда 
, 
, 
, 
.
Проверим выполнение условий линейности для оператора :
= = 
+ 
= 
,
следовательно, первое условие линейности выполнено;
() = = a = a 
,
т.е. второе условие линейности тоже выполнено. Значит, рассмотренный оператор – линейный.
Пример 2
Проверить линейность оператора : R2®R2, если " х = [ х 1, х 2]ÎR2 = .
Пусть х = [ х 1, х 2], у = [ y 1, y 2] – произвольные векторы пространства R2. Тогда 
, 
.
Проверим выполнение условий линейности для заданного оператора.
= 
,
х + у = + 
= 
.
Первые компоненты векторов 
и х + у, очевидно, совпадают. Но
,
т.е. вторые компоненты этих векторов не совпадают, поэтому
≠ х + у.
Следовательно, заданный оператор не является линейным.
Из определения линейного оператора следуют такие свойства:
1. При любом линейном отображении образом нулевого вектора является нулевой вектор, т.е. если оператор – линейный, то
0 L= 0 K.
2. При любом линейном отображении образом вектора, противоположного для данного вектора х, является вектор, противоположный для образа вектора х, т.е. (–а) = – а.
Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования
Наиболее часто в линейной алгебре приходится иметь дело с операторами, отображающими заданное линейное пространство в это же линейное пространство. Такие отображения называют преобразованиями линейных пространств.
Определение 3.
Оператор , действующий из L в L, т.е. : L ® L, называется преобразованием линейного пространства L.
Это означает, что каждому вектору х из L по закону ставится в соответствие вполне определенный вектор у из этого же пространства L.
Преобразования линейных пространств будем обозначать буквами 
, 
, C, 
, и т.д.
Самым простым, и в то же время очень важным видом преобразований являются линейные преобразования. Поэтому дальнейшее изложение будет посвящено именно линейным преобразованиям линейных пространств.
Линейные преобразования можно записывать в координатной форме, т.е. для них существует единое правило нахождения координат образа по координатам прообраза.
Действительно, пусть 
– линейное преобразование линейного пространства L, х Î L – произвольный вектор, у = 
– его образ, у ÎL. Установим связь между координатами векторов х и у. Поскольку координаты вектора зависят от базиса, то зададим некоторый базис Б:{ а 1, а 2, …, а п } пространства L. Пусть
,
.
Поскольку 
, то 
. В силу линейности преобразования имеем
.
Векторы 
– образы векторов базиса Б – являются элементами пространства L, и значит, могут быть разложены по базису Б:
Тогда для вектора у получим
у 
= 
.
Отсюда, в силу единственности разложения вектора по базису, имеем
(1).
Формулы (1) определяют правило нахождения координат образа у через координаты его прообраза х при линейном преобразовании. Если координатные столбцы векторов х и у обозначить соответственно
Х = 
и У = 
то систему (1) можно записать в матричном виде У =А.Х, (2)
где А = 
– квадратная матрица порядка п, i -й столбец которой составлен из координат вектора 
в выбранном базисе Б. Очевидно, А есть матрица системы векторов в базисе Б.
Таким образом, при фиксированном базисе любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме (2), или координатной форме (1)
Отсюда следует, что
· каждому линейному преобразованию в заданном базисе соответствует квадратная матрица, позволяющая осуществлять это преобразование посредством чисел – координат векторов и элементов данной матрицы;
· наоборот, любая квадратная матрица определяет в линейном пространстве L некоторое линейное преобразование, при котором координаты образа находятся по координатам прообраза с помощью системы (1).
Итак, мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством линейных преобразований линейного пространства L n и множеством квадратных матриц порядка п. Это соответствие, конечно, зависит от выбора базиса.
Определение 4.
Матрицей линейного преобразования в базисе Б называется матрица системы образов векторов базиса Бпри этом преобразовании.
Чтобы найти матрицу линейного преобразования , нужно:
1) выбрать базис рассматриваемого пространства;
2) найти образы базисных векторов при преобразовании ;
3) разложить полученные образы по выбранному базису;
4) составить матрицу, расположив в её столбцах координаты образов базисных векторов. Это и будет искомая матрица преобразования .
Пример 3
Найти матрицу линейного преобразования:
а) тождественного;
б) нулевого;
в) : R2®R2, такого, что " х = [ х 1, х 2]ÎR2 = 
*).
а) Пусть 
: L ® L такой, что " х Î L . Рассмотрим какой-либо базис Б:{ а 1, а 2, …, а п } пространства L. Тогда
Отсюда получим матрицу преобразования
= Е,
т.е. матрицей тождественного преобразования является единичная матрица.
б) Рассмотрим нулевое преобразование 
: L ® L, такое, что х = 0. Выбрав произвольный базис Б:{ а 1, а 2, …, а п } пространства L, получим
Отсюда получаем матрицу преобразования :
.
Следовательно, матрицей нулевого преобразования является нулевая матрица.
в) Для преобразования :R2®R2, переводящего вектор х = [ х 1, х 2] в вектор = 
, найдем матрицу в каноническом базисе Бк:{ е 1= [1, 0], е 2 = [0, 1]}. Имеем
е 1= [2.0, 1– 0] = [0, 1] = 0 е 1+ 1 е 2,
е 2 = [2.1, 0 – 1] = [2, –1] = 2 е 1+ (–1) е 2.
Тогда матрица этого преобразования А = 
.
Поскольку матрица линейного преобразования зависит от базиса, то возникает вопрос: как связаны между собой матрицы одного и того же преобразования в разных базисах? Справедлива следующая теорема.
Теорему 1
Если А – матрица линейного преобразования в базисе Б1, а А¢ – матрица этого же преобразования в базисе Б2, то А¢ = Т–1.А.Т, где Т – матрица перехода от базиса Б1 к базису Б2.
Определение 5
Матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S такая, что В = S–1.А.S.
Согласно этому определению и теореме 6.2, матрицыодного и того же преобразования в разных базисах подобны.
Итак, мы установили соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства L п и всеми квадратными матрицами порядка п. Это соответствие зависит от базиса, причем матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой.
