За цією теоремою, якщо ранги основної та розширеної матриць не рівні, то система несумісна й немає сенсу її розв’язувати. Якщо ранги матриць рівні, то система сумісна.
Для сумісних лінійних рівнянь можливі такі випадки.
1. Якщо ранг матриці сумісної системи дорівнює числу невідомих, тобто r=n, то система (1) має єдиний розв’язок.
2. Якщо ранг матриці сумісної системи менший від числа невідомих, тобто 
, то система невизначена й має нескінченну кількість розв’язків.
Нехай ; тоді r невідомих x 1, x 2, ¼, xr називаються основними, або базисними, якщо визначник матриці з коефіцієнтів при цих невідомих відмінний від нуля. Решта n-r невідомих називаються неосновними, або вільними. Оскільки вільні невідомі можуть набувати довільних значень, то в цьому разі система буде невизначеною.
Розв’язок (1), в якому всі n-r неосновних невідомих дорівнюють нулю, називають базисним.
Однорідні системи. Фундаментальна система розв’язків СЛАР
Система m лінійних рівнянь з n невідомимими називається системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі вільні члени дорівнюють нулеві:
, (5)
Якщо у системі (5) т=п, а її визначник відмінний від нуля, то така система має тільки нульовий розв’язок. Ненульові розв’язки можливі лише для таких систем лінійних однорідних рівнянь, у яких число рівнянь менше за число змінних або дорівнює їм, коли визначник системи дорівнює нулеві.
Отже, система лінійних однорідних рівнянь має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менший за число змінних, тобто при 
.
Позначимо розв’язок системи (5) 
…, 
у вигляді рядка 
.
Розв’язки системи лінійних однорідних рівнянь мають такі властивості:
1. Якщо рядок - розв’язок системи (5), то і рядок 
- також розв’язок цієї системи.
2. Якщо рядки і 
- розв’язки системи (5), то при будь-яких 
і 
їх лінійна комбінація 
- також розв’язок даної системи.
Із сформульованих властивостей випливає, що будь-яка лінійна комбінація розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь також є розв’язком цієї системи.
Означення. Система лінійно незалежних розв’язків 
називається фундаментальною, якщо кожен розв’язок системи (5) є лінійною комбінацією розв’язків .
Теорема. Якщо ранг 
матриці коефіцієнтів при змінних системи лінійних однорідних рівнянь (5) менший за число змінних п, то будь-яка фундаментальна система розв’язків системи (5) складається із 
розв’язків.
Тому загальний розв’язок системи (5) лінійних однорідних рівнянь має вигляд:
, (6)
де - будь-яка фундаментальна система розв’язків, 
- довільні числа і 
.
Отже, загальний розв’язок системи т лінійних рівнянь з п змінними (1) дорівнює сумі загального розв’язку відповідної їй системі однорідних лінійних рівнянь (5) і довільного частинного розв’язку цієї системи (5).
