Методи розв’язування СЛАР.

Тема 1. Елементи лінійної алгебри

Лекція 1.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Однорідні системи. Ранг матриці системи. Теорема Кронекера - Капеллі, наслідки з неї. Критерій сумісності СЛАР. Фундаментальна система розв’язків СЛАР. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса

 

 

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Ранг матриці системи

 

Систему m лінійних рівнянь з n невідомимими будемо записувати у вигляді:

, (1)

де x ₁, x ₂, ¼, x_n – невідомі величини, a_ij (i = 1,2, ¼, m;
j = 1, 2, ¼, n) – числа, які називають коефіцієнтами системи (перший індекс показує номер рівняння, другий — номер невідомої), b ₁, b ₂, ¼, b_m – числа, які називаються вільними членами.

Розв’язком системи називається впорядкований набір чисел x ₁, x ₂, ¼, x_n, який перетворює кожне рівняння системи у правильну рівність.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок.

Якщо система має тільки один розв’язок, то вона називається визначеною. Система, яка має більш, ніж один розв’язок, називається невизначеною.

Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.

Система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулеві (b ₁ = b ₂ =¼ = b_n = 0), називається однорідною. Однорідна система завжди є сумісною, так як набір з n нулів задовольняє будь-якому рівнянню системи (система має нульовий або тривіальний розв’язок).

Якщо число рівнянь системи співпадає з числом невідомих (m=n), то система називається квадратною.

Дві системи, множини розв’язків яких співпадають, називаються еквівалентними або рівносильними, тобто кожен розв’язок першої системи є розв’язком другої системи, і кожен розв’язок другої системи є розв’язком першої.

Дві несумісні системи є еквівалентними.

Перетворення, внаслідок якого система перетворюється у еквівалентну їй систему називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. До еквівалентних перетворень належить: перестановка місцями двох рівнянь системи; перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами у всіх рівняннях; перемноження обох частин будь-якого рівняння системи на відмінне від нуля число.

Подамо систему (1) у матричному вигляді.

Матрицю називають основною матрицею, а матрицю - розширеною матрицею системи.

Позначимо через X та B матриці-стовпці , , складені з невідомих і вільних членів. Тоді система (1) набере вигляду

. (2)

Такий запис системи називається матричним.

Методи розв’язування СЛАР.

Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Нехай кількість рівнянь системи (1) дорівнює числу невідомих, тобто m=n. Тоді матриця системи буде квадратною, а її визначник називають основним визначником системи.

Припустимо, що матриця А не вироджена, тобто її визначник . Отже, існує обернена матриця .

Запишемо систему у матричному вигляді (2). Помноживши зліва обидві частини матричної рівності на матрицю , дістанемо

.

Оскільки , то розв’язком системи буде матриця-стовпець

. (3)

Розв’язування СЛАР за допомогою формул Крамера.

Формули Крамера застосовуються для розв’язування системи (1) лише тоді, коли основна матриця А квадратна і невироджена.

Нехай ми маємо квадратну систему лінійних рівнянь:

. (4)

Її можна записати в матричній формі:

AX = B,

де

.

Якщо визначник матриці А не дорівнює нулеві, то система має єдиний розв’язок, який визначається формулами:

.

У формулах D _i – визначник n -го порядку, які отримуються із визначника D матриці A коефіцієнтів системи заміною i -го стовпця стовпцем вільних членів.

При розв’язуванні системи рівнянь можливі три випадки:

1) , тоді система (4) має єдиний розв’язок:

;

2) тоді система (4) не має розв’язків, тобто є несумісною;

3) тоді система (4) зводиться до одного рівняння і має безліч розв’язків, тобто є невизначеною.

Теорема Кронекера - Капеллі, наслідки з неї. Критерій сумісності СЛАР